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1、专题9几何问题探究1如图，已知baaedc，adec，ceae，垂足为e.(1)求证：dcaeac；(2)只需添加一个条件，即 ，可使四边形abcd为矩形请加以证明【解析】先证明四边形abcd是平行四边形，如何添加使四边形abcd为矩形？adbc解：(1)由sss可证dcaeac(2)添加adbc，可使四边形abcd为矩形；理由：abdc，adbc，四边形abcd是平行四边形， ceae，e90，由(1)得dcaeac，de90，四边形abcd为矩形2如图，点b，e，c，f在一条直线上，abde，becf，请添加一个条件 ，使abcdef.abde3(2016河南)如图，在rtabc中，abc
2、90，点m是ac的中点，以ab为直径作o分别交ac，bm于点d，e.(1)求证：mdme；(2)若ab6，当ad2dm时，求de的长；连结od，oe，当a的度数为多少时，四边形odme是菱形【解析】当a60时，四边形odme是菱形，只要证明ode，dem都是等边三角形即可解：(1)abc90，ammc，bmammc，aabm，四边形abed是圆内接四边形，adeabe180，又ademde180，mdemba，同理可证：meda，mdemed，mdme当a60时，四边形odme是菱形理由：连结od，oe，oaod，a60，aod是等边三角形，aod60，deab，odeaod60，mdemed
3、a60，ode，dem都是等边三角形，odoeemdm，四边形oemd是菱形解：(1) f为be中点，bfef. ab cd，mbfcef，bmfecf，bmfecf(aas)，mbce. abcd，cede，mbam. amce【解析】(1)在旋转过程中，哪两个三角形一直保持全等？(2)ap最大时的位置是什么？画出图形解：(1)adbe，理由：当180时，由旋转的性质得，acdbce，acbc，cdce，acdbce(sas)，adbe，当180时，adaccd，bebcce，即：adbe，综上可知：adbe6如图1，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，点a(1，0)，点b(0，)将aob绕点
4、o顺时针旋转得aob，设abo的面积为s1，bao的面积为s2.(1)当a恰好落在ab边上时，s1与s2有何关系？为什么？(2)若将aob绕点o顺时针旋转到如图2所示的位置，s1与s2的关系发生变化了吗？证明你的判断【解析】点a落在各个位置时，如何表示s1与s2？面积的表示式子中如何寻找相等的量？(2)s1s2不发生变化；理由：如图，过点a作am ob，过点a作an ob交bo的延长线于n，abo是由abo绕点o旋转得到，boob，aooa，aonbon90，aombon1809090，aonaom，aonaom(aas)，anam，boa的面积和abo的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)
5、，即s1s27(2018预测)如图1，在正方形abcd内作eaf45，ae交bc于点e，af交cd于点f，连结ef，过点a作ahef，垂足为h.(1)如图2，将adf绕点a顺时针旋转90得到abg.求证：ageafe；若be2，df3，求ah的长；(2)如图3，连结bd交ae于点m，交af于点n.请探究并猜想：线段bm，mn，nd之间有什么数量关系？并说明理由解：(1)由旋转的性质可知：afag，dafbag. 四边形abcd为正方形，bad90.又eaf45，baedaf45.bagbae45.gaefae.gaefae(sas)gaefae，abge，ahef，abah，geef5.设正方
6、形的边长为x，则ecx2，fcx3.在rtefc中，由ef2fc2ec2，即(x2)2(x3)225，解得x6，ab6. ah6e2(3)mn2dn2bm2.理由：如图，将abm逆时针旋转90得adm. 四边形abcd为正方形，abdadb45.由旋转的性质可知：abmadm45，bmdm，ndm90，nm2nd2dm2.eam90，eaf45，eaffam45.又amam，anan，amnamn(sas)，mnmn.又bmdm，mn2nd2bm2(3)如图，过c作chaf于点h，连结cc交ef于m.cf是rtdce斜边上的中线，fcfefd，fecfce，四边形abcd是矩形，adbc，ad
7、bc，adfcef，adfbcf，adfbcf(sas)，afdbfc90，chaf，ccef，hfechfcmf90，四边形cmfh是矩形， 9如图，在abc中，acb90，acbcad.(1)作a的角平分线交cd于e；(2)过b作cd的垂线，垂足为f；(3)请写出图中两对全等三角形(不添加任何字母)，并选择其中一对加以证明解：(1)(2)如图(3) aceade，acecbf.证明：aceade，ae是a的平分线，caedae，又acad，ae为公共边，aceade(sas)10如图，正方形abcd和正方形cefg边长分别为a和b，正方形cefg绕点c旋转，给出下列结论：bedg；bedg
8、；de2bg22a22b2，其中正确的结论是 (填序号)【解析】图形中哪两个三角形全等？可以判断be与dg的数量关系？如何利用得出的结论进一步利用勾股定理表示de2bg2?解：如图，设be，dg交于o，四边形abcd和efgc都为正方形，bccd，cecg，bcdecg90，bcddceecgdce，即bcedcg，bcedcg(sas)，bedg，12，143190，2390，bod90，bedg；故正确；连结bd，eg，do2bo2bd2bc2cd22a2，eo2og2eg2cg2ce22b2，则bg2de2do2bo2eo2og22a22b2，故正确11如图，点p为定角aob的平分线上的
9、一个定点，且mpn与aob互补若mpn在绕点p旋转的过程中，其两边分别与oa，ob相交于m，n两点，则以下结论错误的是( )apmpn恒成立bomon的值不变c四边形pmon的面积不变dmn的长不变d【解析】如图，过点p分别作oa，ob的垂线段pe，pf，可证得rtpmertpnf(1)“pmpn”由全等即可证得是成立的；(2)全等得到menf，即可证得omonoeof，由于oeof保持不变，因此omon的值也保持不变；(3)由“rtpmertpnf”可得这两个三角形的面积相等，因此四边形pmon的面积与四边形peof的面积始终相等；(4)对于pmn与pef，这两个三角形都是等腰三角形，且顶角
10、相等，但由于腰长不等，因此这两个三角形不可能全等，所以底边mn与ef不可能相等，所以mn的长是变化的12已知abc，abac，d为直线bc上一点，e为直线ac上一点，adae ，设bad，cde.(1)如图，若点d在线段bc上，点e在线段ac上如果abc60，ade70， 那么_，_；求，之间的关系式；(2)是否存在不同于以上中的，之间的关系式？若存在，求出这个关系式，若不存在，请说明理由【解析】点e，点d在不同位置上，有几种情况？试画出图形2010解：(1)adae，aedade70，dae40，又abac，abc60，baccabc60，bacdae604020，aedc706010设ab
11、cx，adey，则acbx，aedy，在dec中，yx，在abd中，xy，2(2)如图，点e在ca的延长线上，点d在线段bc上，设abcx，adey，则acbx，aedy，在abd中，xy，在dec中，xy180，2180注：求出其它关系式，相应给分，如点e在ca的延长线上，点d在cb的延长线上，可得180213如图1，ac，bd是四边形的对角线，acbacdabdadb. (1) 若60，如图2，延长cb到e，使becd，连结ae，请猜测并证明bc，cd，ac三者之间的等量关系；(2)若45，如图3，那么线段bc，cd，ac三者之间有何等量关系？写出结论，并给出证明； (3)如图4，“acb
12、acdabdadb”，那么线段bc，cd，ac三者之间有何等量关系？直接写出结论，不用证明【解析】图2延长cb到e，使becd，图形中有没有全等的三角形？这对后面解题有什么帮助？解：(1)bccdac，证明略(3)bccd2accos.理由：如图，延长cd至e，使debc，abdadb，abad，bad1802，acbacd，acbacd2，badbcd180，abcadc180，adcade180，abcade，abcade(sas)，acbaed，acae，aec，过点a作af ce于f，ce2cf，在rtacf中，acd，cfaccosacdaccos，ce2cf2accos，cecddecdbc，bccd2accos