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1、带约束的二次规划刘鹏2021/7/11线性规划与非线性规划线性规划(linear programming)在一组线性约束定义的区域上，对一个线性函数进行极小化（或者极大化）的问题，其数学模型可以表示为满足约束条件的点称可行点，可行点集合构成可行域2021/7/12线性规划与非线性规划非线性规划(nonlinear programming)非线性规划的数学模型可以表示为在目标函数或者约束函数中至少有一个函数是非线性的当非线性规划问题的可行域为整个实数域时，称为无约束优化问题， 否则称为约束优化问题2021/7/13凸集、凸函数与凸优化凸集：如果某个集合中任意两点连起来的直线都属于该集 合，则称其
2、为凸集，否则为非凸集 非凸集 凸集 2021/7/14凸集、凸函数与凸优化凸集的数学定义：是凸集当且仅当 成立 2021/7/15凸集、凸函数与凸优化线性约束的可行集是凸集 证明： 2021/7/16凸集、凸函数与凸优化凸函数凸规划 目标函数为凸函数，可行集为凸集的规划问题2021/7/17karush-kuhn-tucker条件对于非线性规划问题引入lagrange函数：其关于x的梯度为：2021/7/18karush-kuhn-tucker条件kkt条件可以表述为这三行分别表示可行性条件、目标函数梯度的线性表示条件以及互补松弛条件对于线性不等式约束的非线性规划问题，kkt条件是局部 极小值
3、点的必要条件对于凸规划问题，kkt条件是全局最优解的充要条件 2021/7/19二次规划二次规划是非线性规划的一种特殊形式，其数学模型为：约束条件为线性约束，故其可行集为凸集目标函数为非线性函数，当hesse矩阵q是非负定矩阵时， 目标函数为凸函数，此时优化问题为凸二次规划问题2021/7/110二次规划二次规划的kkt条件为：凸二次规划的kkt解就是全局最优解非凸二次规划的kkt解为局部极小值点求解凸优化问题转化成求解kkt解的问题2021/7/111二次规划简单的kkt条件可以直接求解，复杂的可以采用投影梯度法求解matlab程序线性规划 2021/7/112二次规划matlab程序二次线
4、性规划 2021/7/113二次规划输出可调整为 为自变量 为目标函数值 迭代收敛到 超出设定的迭代次数 优化问题无界或者不可行 优化算法类型 算法的迭代次数 不等式约束的乘子 等式约束的乘子变量下界和上界2021/7/114案例分析假设有四种投资1,2,3,4，第i种投资的收益率 的预期收益均值为 ， 方差 表示投资的风险大小，即收益率关于均值的偏离程度令 为第i个项目的投资额占总投资的比例，向量 表示一个投资组合，则其对应的收益率为记第i和j种项目投资收益率的相关系数投资组合收益率r的方差为 2021/7/115案例分析令收益率的协方差矩阵为 ，则上式可记为令预期收益满足在满足收益率条件下
5、最小化风险模型： 2021/7/116案例分析预期收益不小于8.5 q社保债券社保债券技术交易中心技术交易中心 管理咨询中心管理咨询中心游乐中心游乐中心社保债券20.40.10技术交易中心0.443-1管理咨询中心0.1361游乐中心0-1110预期收益7810142021/7/117案例分析各项投资比例为：0.5418,0.2510,0.0503,0.1569风险最小值0.6137*2=1.2274 2021/7/118结语规划问题属于运筹学（operations research）范畴，其计算使用lingo、matlab、mathematica等软件分分钟搞定故而运筹学的核心不在于具体计算而在于建模！2021/7/119thank you！2021/7/120 结结束束语语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！