《河北省沧州市七校联盟2021届高三数学上学期期中试题【含解析】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省沧州市七校联盟2021届高三数学上学期期中试题【含解析】（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、河北省沧州市七校联盟河北省沧州市七校联盟 20212021 届高三数学上学期期中试题（含解析）届高三数学上学期期中试题（含解析）第第卷卷一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）24axx |2bx xab a. b. c. d. 24xx 24xx22xx 24xx【答案】b【解析】【分析】根据交集定义计算【详解】 24abxx故选：b2. 复数的虚部是（ ）31 2izia. b. c. d. 65
2、i35i3565【答案】c【解析】【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部z【详解】因为，33 (12 )36631 2(1 2 )(12 )555iiiiiiii 所以复数z的虚部是35故选：c3. 的展开式中的系数是（ ）523xx4xa. 90b. 80c. 70d. 60【答案】a【解析】【分析】根据二项式定理，得到展开式的第项，再由赋值法，即可求出结果.523xx1r 【详解】因为展开式的第项为，523xx1r 5210 31553cc3rrrrrrrtxxx令，得，则的系数为1034r2r = =4x225c390故选：a.4. 若，则的最小值为（ ）0mn 3mn14mna. 2
3、b. 6c. 9d. 3【答案】d【解析】【分析】根据题中条件，由展开后，根据基本不等式，即可求出结果.14114()3mnmnmn【详解】因为，0mn 3mn所以1411414()533nmmnmnmnmn145233nmmn当且仅当，即，时取等号.4nmmn1m 2n 故选：d.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正二定三相等” “一正”就是各项必须为正数；（2） “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3） “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，
4、若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5. 2020 年 10 月 1 日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵某交通部门为了解从a城到b城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在内，按通行时间分为，30,5530,35)，五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在35,40)40,45)45,50)50,55内的车辆有 235 台，则通行时间在内的车辆台数是（ ）30,35)45,50)a. 450b. 325c. 470d. 500【答案】c【解析】【分析】根据频率分布直方图求出
5、通行时间在内的频率，然后由通行时间在内的车辆45,50)30,35)有 235 台与频率可得结论【详解】因为，四组通行时间的频率分别是30,35)35,40)40,45)50,550.1，0.25，0.4，0.05，所以通行时间在内的频率是，45,50)1 0.1 0.250.40.050.2通过的车辆台数是235 2470故选：c6. 在矩形abcd中，点e满足，则（ 3 5ab 2 2ad 32dedcae bd ）a. 21b. c. d. 18 62218 10【答案】c【解析】【分析】以ab，ad所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，用坐标表示向量后计算数量积【详解】( 3 5,2
6、2)bd 7. 如图，在三棱锥d-abc中，一平面截三棱锥d-abc所得截面为平行四边形acbdefgh已知，则异面直线eg和ac所成角的正弦值是（ ）2ef 5eh a. b. c. d. 1477735727【答案】a【解析】【分析】利用直线与平面平行的判定与性质可证，从而可知（或其补角）就是异/ /ehacheg面直线eg和ac所成的角，在直角三角形中计算可得解.ehg【详解】efgh是平行四边形，所以，因为平面，平面，/ehfgeh acdfg acd所以平面，又平面，平面平面，/ /ehacdeh abcabcacdac所以，所以（或其补角）就是异面直线eg和ac所成的角，/ /eh
7、acheg因为，所以，acbd90ehg因为，所以，2hgef5eh 7eg 故14sin7hghegeg故选：a【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补0,2角作为两条异面直线所成的角8. 定义在r上的函数的导函数为，若，则不等式( )f x( )fx( )( )fxf
8、x(2)1008f的解集为（ ）21e( 1) 1008e0xf xa. b. c. d. ( 1,) (2,)(,1)(1,)【答案】d【解析】【分析】令，对函数求导判断出单调性，利用的单调性解出不等式即可( )( )exf xg x ( )g x【详解】令，则，( )( )exf xg x ( )( )( )0exfxf xg x所以在r上单调递增( )g x因为，所以不等式，21008(2)eg21e(1) 1008e0xf x可变形得，即，所以，12(1)(2)eexf xf 12g xg12x 解得1x 故选：d二、选择题；本大题共二、选择题；本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小
9、题 5 5 分，共分，共 2020 分，在每小题给出的选项中，有多项符分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分9. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，且，则（ ） nans35a 73a a. b. c. d. 12d 12d 918s 936s 【答案】bd【解析】【分析】由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断 c，d，由等差数列基本量运算，n9s可得公差，判断出 a，b【详解】因为，1937538aaaa所以19999 83622aas因为，所以公
10、差35a 73a 731732aad 故选：bd10. 已知函数，若将函数的图象平移23( )sincos3sin(0)2f xxxx( )f x后能与函数的图象完全重合，则下列说法正确的有（ ）sin2yxa. 函数的最小正周期为( )f xb. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称( )f x12c. 当时，函数的值域为,4 4x ( )f x1,12d. 当函数取得最值时，( )f x()122kxkz【答案】abd【解析】【分析】先利用三角恒等变换公式将函数化简变形得，由于函数的图( )sin 23f xx( )f x象平移后能与函数的图象完全重合，从而得，则，
11、然后sin2yx1( )sin 23f xxp= 利用三角函数的图像和性质对选项逐个分析判断【详解】由题意得，23( )sincos3sin2f xxxx23 1 2sin1sin222xx13sin2cos222xxsin 23x因为函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，( )f xsin2yx所以因为，1( )sin 23f xxp= 所以函数的最小正周期，故a正确( )f x22t将的图象向左平移个单位长度，( )f x12得到曲线，sin 2sin 2cos21232yxxx其图象关于y轴对称，故b正确当时，,4 4x 52,366x ，即的值域为，1sin 2,132x ( )f
12、x1,12故c错误令，解得，2()32xkkz()122kxkz所以当取得最值时，故d正确( )f x()122kxkz故选：abd【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角函数的图像和性质的应用，解题的关键是将利用三角恒等变23( )sincos3sin(0)2f xxxx换公式化为，考查转化思想和计算能力，属于中档题( )sin 23f xx11. 已知为奇函数，且，当时，(2)yf x(3)(3)fxfx0,1x，则（ ）4( )2log (1) 1xf xxa. 的图象关于对称b. 的图象关于对称( )f x( 2,0)( )f x(2,0)c. d. 4(202
13、1)3log 3f3(2021)2f【答案】bd【解析】【分析】由为奇函数，可得，从而得，所以(2)yf x(2)(2)fxfx (3)(1)fxfx 可得的图象关于对称，所以 b 正确，a 错误，由已知条件可得函数的周期为( )f x(2,0)( )f x4，进而可求出的值，从而可对 c，d 作出判断(2021)f【详解】为奇函数，(2)yf x，(2)(2)fxfx (3)(1)fxfx 同时说明的图象关于对称( )f x(2,0)，(3)(3)fxfx(1)(3)fxfx即，可得，( )(2)f xf x(4)( )f xf x函数的周期为 4，( )f x故43(2021)(4 505
14、 1)(1)2log 2 12fff 故选：bd12. 椭圆，分别为左、右焦点，分别为左、右顶2222:1(0)xycabab1f2f1a2a点，p为椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆c的离心率可能为（ 12120pf pfpa pa ）a. b. c. d. 12223332【答案】ac【解析】【分析】设，则，00,p xy1(,0)fc2( ,0)f c100,pfcxy 200,pfcxy ，再由可得100,paaxy 200,paaxy 12120pf pfpa pa ，从而可求出离心率的范围2230ac【详解】设，00,p xy1(,0)fc2( ,0)f c则，100,pfcxy 20
15、0,pfcxy ，100,paaxy 200,paaxy 因为222212120022pf pfpa paxyac 22222200222bxbxaca恒成立，222222022330cxacaca所以离心率33cea故选：ac【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的几何性质的应用，考查的离心率的求法，解题的关键是由转化为坐标的关系，进而可得到的关系，考查计算能力，12120pf pfpa pa , a c属于中档题第第卷卷三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上13. 已知函
16、数，则_32 ,0( )ln(),0xx xf xx x( (1) f f【答案】0【解析】【分析】先求，进而得出的值 1f( (1)f f【详解】，(1)1 21f ( (1)f f( 1)ln10f 故答案为：014. 若，则_2sin63sin 26【答案】19【解析】【分析】由，结合诱导公式和二倍角公式得出答案sin 2sin2632【详解】，2sin6321cos 21 2sin369 ，223261sin 2sin2cos 263239 故答案为：1915. 若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，p40xyp2240yxcx ：pm（切点为，） ，则的最小值是_.pnmnmn【答
17、案】4 73【解析】【分析】根据题意得当的长度最小时，取最小值，进而根据几何关系求解即可.|mn|pc【详解】如图，由题可知圆c的圆心为，半径(2,0)c2r = =要使的长度最小，即要最小，则最小|mnmcnmcp因为，|tan2pmpmmcpr所以当最小时，最小因为，|pm|mn2|4pmpc所以当最小时，最小|pc|mn因为，min6|3 21 1pc所以，22cos33 2mcp所以，7sin3mcp由于1in2s2mcpmn所以min4 7|3mn故答案为：.4 73【点睛】本题解题的关键是根据已知当的长度最小，即要最小，进而得当|mnmcn最小时，最小由于的最小值为点到直线，故|p
18、c|mn|pcc40xy.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.min|3 2pc16. 在棱长为 2 的正方体，中，e，f分别为棱，的中点，点p1111abcdabc d11ab11bc在线段ef上，则三棱锥的体积为_1pd ac【答案】2【解析】【分析】由线面平行的性质可得无论点p在线段ef上什么位置，它到平面的距离不变，求出1d acp到平面的距离，再利用锥体的体积公式即可求解.1d ac【详解】因为，平面， /ef acac 1d ac所以平面，/ef1d ac所以无论点p在线段ef上什么位置，它到平面的距离不变1d ac当点p是ef与的交点时，11d b11134pdd b则p到平面
19、的距离是到平面距离的1d ac1b1d ac34因为到平面的距离为，1b1d ac1224 32 3333b d 所以p到平面的距离是，1d ac34 3343因为的面积，1d ac123(2 2)2 34d acs所以三棱锥的体积1pd ac12 3323v 故答案为：2四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 在，(sinsin)()(sinsin)ab abcb csincos6abba这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答sinsin2bcbab问题：
20、在中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且，abc2 3bc，_求的面积6a abc【答案】任选三个条件之一，都有32abcs【解析】【分析】若选，由正弦定理边角互化，由余弦定理得出角，进而求得，得出三角形的面积；abc若选，由正弦定理边角互化，利用两角和与差公式化简得出角，结合余弦定理求出三角a形的面积；若选，由正弦定理结合诱导公式和二倍角公式得出角，由余弦定理得出，abc进而可得三角形的面积【详解】若选，由正弦定理，得，()ababcb c即，所以，222bcabc2221cos222bcabcabcbc因为，所以(0, )a3a因为，2222()3abcbcbcbc，6a 2 3bc
21、所以，2bc 所以113sin2 sin2232abcsbca 若选，由正弦定理，得sinsinsincos6abba因为，0b所以，所以，sin0b sincos6aa化简得，31sincossin22aaa所以cos06a因为，所以0a3a因为，2222cos3abcbc6a 2 3bc所以，2bc 所以113sin2 sin2232abcsbca 若选，由正弦定理，得sinsinsinsin2bcbab因为，0b所以，所以sin0b sinsin2bca因为，所以222bcacos2sincos222aaa因为，0a022a所以，所以，所以cos02a1sin22a3a因为，2222()
22、3abcbcbcbc，所以，6a 2 3bc2bc 所以113sin2 sin2232abcsbca 【点睛】方法点睛：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，解三角形问题中可以应用正余弦定理的题型有：1.已知一边和两角；2.已知两边和其中一边的对角；3.已知两边和它们所夹的角；4.已知三边18. 设数列的前n项和为，且 nans12nnsa（1）求数列的通项公式； na（2）设，求数列的前n项和21nnban nbnt【答案】 （1）；（2）12nna-=12nntn【解析】【分析】（1）由得出数列是等比数列， （先求出） ，可得通项公式；1(2)nnnassnna10a （
23、2）由（1）得，用错位相减法求和nb【详解】解：（1）当时，解得1n 1112sa11a 因为，21nnsa所以当时，2n 1121nnsa-得，所以1122nnnnssaa12nnaa故数列是首项为 1，公比为 2 的等比数列，其通项公式为 na12nna-=（2）由题知，(1) 2nnbn所以，1232 23 24 2(1)2nntn ，234122 23 24 2(1)2nntn -得，123122222(1)2nnntn1121 22(1)221 2nnnnn 所以12nntn【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求和数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位
24、相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法19. 某电商为了解消费者的下一部手机是否会选购某一品牌手机，随机抽取了 200 位以前的客户进行调查，得到如下数据：准备购买该品牌手机的男性有 80 人，不准备买该品牌手机的男性有 40 人，准备买该品牌手机的女性有 40 人（1）完成下列 22 列联表，并根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为这 200 位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关准备买该品牌手机不准备买该品牌手机合计男性女性合计（2）该电商将这 200 个样本中准备购买该品牌手机的被调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随
25、机抽取 3 人给予 500 元优惠券的奖励，另外 3 人给予 200元优惠券的奖励，求获得 500 元优惠券与获得 200 元优惠券的被调查者中都有女性的概率附：，22()()()()()n adbckab ac cd bdnabcd 20p kk0.500.250.050.0250.0100k0.4551.3213.8405.0246.635【答案】 （1）列联表见解析，有 97.5%的把握认为这 200 位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关；（2）35【解析】【分析】（1）写出列联表后计算可得；2k（2）求出 6 人中男性 4 人，女性 2 人，计算出“获得 500 元优惠券者与获
26、得 200 元优惠券者都有女性”这个事件a所含基本事件的个数，及任取 3 人的方法总数，然后由概率公式计算概率【详解】解：（1）由题意得 22 列联表如下：准备买该品牌手机不准备买该品牌手机合计男性8040120女性404080合计12080200因为，22200(40 8040 40)5.5565.024120 80 80 120k所以有 97.5%的把握认为这 200 位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关（2）由题意可知，用分层抽样的方法抽取的 6 人中，男性有人，女性有人80641204062120设“获得 500 元优惠券者与获得 200 元优惠券者都有女性”为事件a，则，12
27、2436123( )205c cp ac即获得 500 元优惠券与获得 200 元优惠券的被调查者中都有女性的概率为3520. 如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是边长为 2 的正方形，90adp，二面角为 60，e为pd的中点pdadpadb（1）证明：平面padce （2）求平面ade与平面abe所成锐二面角的余弦值【答案】 （1）证明见解析；（2）2 1919【解析】【分析】（1）由已知条件可证得平面pcd，从而可得，再由二面角为ad adcepadb60，可得为等边三角形，可得，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；pcdcedp（2）过p作，垂足为o，可证得平面abcd，设ab
28、的中点为q，可得pocdpo 平面pdc，以o为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，oq oqdc的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz，然后利用空间向量求解op 平面ade与平面abe所成锐二面角的余弦值【详解】 （1）证明：四边形abcd为正方形，adcd，90adpcddpd平面pcdad平面pcd，ce adce二面角p-ad-b为 60，60pdc，为等边三角形pdadcdadpcd为pd的中点，ecedp，平面padaddpdce（2）解：过p作，垂足为o，易知o为cd的中点pocd平面平面abcd，pcd 平面平面，平面pdc，pcdabcdcd
29、po 平面abcdpo设ab的中点为q，连接oq，则，平面pdc/oq adoq 以o为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴oqdcop 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz正方形abcd的边长为 2，(2, 1,0)a(2,1,0)b(0,1,0)c(0, 1,0)d(0,0, 3)p130,22e，(0,2,0)ab 132,22ae 330,22ce 平面pad，ce q为平面ade的一个法向量ce 设是平面abe的法向量，( , , )nx y z则，20132022n abyn aexyz 令，得4z ( 3,0,4)n 2 32 19cos,19
30、|319ce nce ncen 平面ade与平面abe所成锐二面角的余弦值为2 1919【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的证明方法，考查二面角的求法，解题的关键是合理建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，考查计算能力，属于中档题21. 已知椭圆的离心率为，焦距为 22222:1(0)xyabab55（1）求的标准方程（2）过的右焦点f作相互垂直的两条直线，（均不垂直于x轴） ，交于a，b两1l2l1l点，交 于c，d两点设线段ab，cd的中点分别为m，n，证明：直线mn过定点2l【答案】 （1）；（2）证明见解析22154xy【解析】【分析】（1）由焦点得，由离心率可求得，再由求得后可得椭
31、圆方程；ca222abcb（2）设直线ab的方程为，直线方程代入椭圆方(1)(0)yk xk11,a x y22,b xy程整理后应用韦达定理得，从而得点坐标，同理得点坐标，在直线1212,xx x xmn斜率存在的情况下，求出直线斜率，得直线方程，由直线方程得定点坐标，然后说mnmn明斜率不存在时直线也过此定点【详解】 （1）解：因为离心率，且，55cea22c 222abc所以，1c 5a 2b 故的标准方程为22154xy（2）证明：由（1）知(1,0)f设直线ab的方程为，(1)(0)yk xk11,a x y22,b xy联立方程组，消去y得22(1)154yk xxy，222254
32、105200kxk xk则，21221054kxxk122854kyyk所以m的坐标为22254,54 54kkkk因为，所以cd的斜率为cdab1k将m坐标中的k换为，可得n的坐标为1k2254,45 45kkk当时，设直线mn的斜率为，1k mnk则，2955nmmnnmyykkxxk所以直线mn的方程为，222495455545kkyxkkk即，则直线mn过定点295559kyxk5,09当时，直线mn的方程为，也过点1k 59x 5,09综上所述，直线mn过定点5,09【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中定点问题解题方法是设而不求的思想方法即设直线ab的方程
33、为，(1)(0)yk xk，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，从而可11,a x y22,b xy1212,xx x x得中点坐标（用表示） ，点坐标，然后求出直线方程后，通过方程得出定点mkn22. 已知函数2( )ln(1 2 )1f xxmxm x（1）若，求的极值；1m ( )f x（2）若对任意，恒成立，求整数m的最小值0x ( )0f x 【答案】 （1）极大值为，无极小值；（2）1( )f x1ln24【解析】【分析】（1）求导函数，由导函数确定函数的单调性，得极值；( )fx（2）不等式恒成立转化为在上恒成立，设，转2ln12xxmxx(0,)2ln1( )2xxf x
34、xx化为求的最大值，确定的零点的范围，得出最大值的范围后可得最小的( )f x( )f x0x( )f x整数m【详解】解：（1）当时，1m 2( )ln1f xxxx1(1)(21)( )21xxfxxxx 当时，则在上单调递增；102x( )0fx( )f x10,2当时，则在上单调递减12x ( )0fx( )f x1,2所以在时取得极大值且极大值为，无极小值( )f x12x 11ln224f（2）因为对任意，恒成立，0x ( )0f x 所以在上恒成立，2ln12xxm xx (0,)即在上恒成立2ln12xxmxx(0,)设，则2ln1( )2xxf xxx22(1)(2ln )(
35、 )2xxxf xxx设，( )(2ln )xxx 显然在上单调递减，( )x(0,)因为，(1)10 11112ln2ln202222 所以，使得，即01,12x 00x002ln0xx当时，；00,xx( )0x当时，0,xx( )0x所以在上单调递增，在上单调递减，( )f x00,x0,x 所以 00max02000ln11( )22xxf xf xxxx因为，所以，01,12x011,122x故整数m的最小值为 1【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求函数的极值，研究不等式恒成立问题求解不等式恒成立问题，常常需要转化，用分离参数法转化为求函数的最值本题中函数的最值点不能直接求出，我们用表示，通过得出的范围，从而可得最大值的范围，然后0x( )f x0x0()f x得出结论