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1、第四讲构建数学理论的基本方法公理化方法本讲内容v数学公理化方法的历史演进过程关于几何公理体系v实质公理化与形式公理化v数学公理化方法的逻辑特征v所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出 其它命题，建立起一个演绎系统的方法。v数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定 恩格斯v公理化方法能系统地总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。v现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。v公理化方法的发展，大致经
2、历了这样三个阶段：实质（或实体）实质（或实体）公理化阶段、形式形式公理化阶段和纯形式纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论体系典范分别是几何原本几何原本、几何基础几何基础和和zfc公理系统公理系统。v数学公理化方法的历史演进 关于几何公理体系欧几里德几何 历史上第一个用公理化方法去建构数学理论体系的是欧几里德，他的工作集中体现在他的几何原本中。v quotations: the laws of nature are but the mathematical thoughts of god. there is no royal road to geometry.欧几里得v几何原本受到了毕达哥拉斯
3、学派和亚里士多德的影响v毕达哥拉斯学派开创了把几何学作为证明的演绎学科来进行研究的方向。v亚里士多德首创造公理化思想，提出了逻辑学的“三段论公理体系”。v欧几里德首先指明了几何学的研究对象，即点、线、面，在对这些对象进行“定义”（其实只是说明）以后，引进了关于这些对象的一些明显的事实作为不加证明而采用的5个公设，进而又引进了更为一般的5个断言作为公理，他通过这些公理、公设，逐步推演出465个命题。v几何原本的问世，在数学的发展史上树立了一座不朽的丰碑，对数学乃至科学的发展起了巨大的推动作用。v它也成为公认的、历史上第一部巨大的科学典籍。v它奠定了数学这门科学必须依照逻辑要求论述其规律的基础。v
4、它基本上完善了初等几何的体系，这正如黑格尔所说：“初等几何就欧几里得所遗留给我们的内容而言，已经可以看作相当完备了，不可能有更多的进展”。v它所体现的演绎美对数学美学思想的发展也起到了不可低估的作用，它让“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后的成就所必须的信心。（爱因斯坦语）。v几何的辉煌之处就在于只用很少的公理而得到如此之多的结果。v它倡导的公理化方法，为数学家和物理学家树立了如何建立科学理论体系的光辉典范。v牛顿采用欧几里德的公理化方法，把他之前的众多的物理学家（如哥白尼、伽俐略、开普勒等）研究的力学知识
5、排列成逻辑的体系，组成一个有机的整体。他的名著自然哲学的数学原理从力学三大运动定律出发，按照数学的逻辑推理把力学定理逐个必然地引申出来。about elementsvthe elements have been studied for over 20 centuries in many languages starting, in its original greek form, then in arabic, latin, and then to modern languages of the present time. vit is also the worlds second most
6、popular book, coming only behind the holy bible which is extraordi nary considering how many books there are in the world.greek version(888)latin version (1482)english versionv“此书有四不必：不必疑、不必揣、不必试、不必改有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。v有三至三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之
7、难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已”。 徐光启几何原本杂议中文版v1606年，由意大利传教士利玛窦口译，明代进士、数学家徐光启执笔，合作译完欧几里得几何原本前6卷，1607年在北京雕版刊行徐光启亲自写了刻几何原本序，手迹至今犹存。v徐光启和利玛窦译的几何原本前6卷，乃是东方的最早译本(不计阿拉伯文本)。v较俄译本(1739)、瑞典文本(1744)、丹麦文本(1745)、波兰文本(1817)都早。v徐光启和利玛窦合译的几何原本语言通俗，错误很少。v其中的许多数学译名都是从无到有，边译边创造的，而且都十分恰当。v“几何”一词的选用，其他如点、直线、平行线、角、三角形、四边形、有理数，无理数等都
8、是这个译本首先定下来的。v这些名词在我国一直沿用至今，而且还影响到日本、朝鲜等邻国。v只有少数名词后来有所改动。v1857年，清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合作续译的几何原本后9卷正式刊行。非欧几何v非欧几里得几何是一门大的数学分支，非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。这三个方面的不同含义。v所谓广义式泛指一切和所谓广义式泛指一切和欧几里得几何欧几里得几何不不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就
9、是指何，就是指罗氏几何罗氏几何和和黎曼几何黎曼几何这两种这两种几何。几何。非欧几何v长期以来，不少数学家就对第五公设（即平行公设）持保留态度。 若平面上一直线和两直线相交，当同旁两内角之和小于二直角时，则两直线在这一侧延长后一定相交。因为v它在陈述和内容上显得复杂和累赘。v人们怀疑这条公设是多余的，它可能能从其它公设、公理中逻辑地推导出来。v而且进一步认为，欧几里得之所以把它当作公设，只是因为他未能给出这一命题的证明。v因而数学家们纷纷致力于证明第五公设，据说在欧几里得以后的两千多年时间里，几乎难以发现一个没有试证过第五公设的大数学家。vproclusdiadochus普罗克洛斯（411485
10、）,greece john playfair（17481819）,scotland adrien-marie legendre（17521833），francev但是所有试证第五公设的努力均归于失败，在这些失败之中唯一引出的正面结果便是一串与第五公设等价的命题被发现。v普雷菲尔（john playfair）公设：“在平面上过直线外一点只能作一条和这直线不相交的直线”。v“三角形的内角和等于两直角”。v“存在着相似三角形”等。v由于普雷菲尔公设形式最为简明，因此受到普遍采用，现在的教科书中也常用这一叙述形式来替代第五公设。v其实，普雷菲尔公设由于包含了平行线的存在性，其与其它欧几里得公理、公设并
11、不独立，更确切的等价命题应为：“通过不在已知直线上一点，至多可引一条与该已知直线平行的直线”（它被希尔伯特公理系统所采用，称为“平行公理”）。v在总结前人失败教训的基础上，1826年，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基（nicolailobachevsky）从问题的反面考虑，大胆地提出了与前人完全不同的信念：v首先，他认为第五公设不能以其余的几何公理作为前提来进行证明，即第五公设相对于其它公理、公设是独立的。v其次，更进一步，他认为除去第五公设成立的欧几里得几何之外，还可以有第五公设不成立的新几何系统存在。v于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理、公设的前提下，引进了一个相反于第五公设的公理：
12、“过平面上一已知直线外的一点至少可以引两条直线与该已知直线不相交”。v这样，罗巴切夫斯基就构造出来了一个新的几何系统即罗巴切夫斯基几何系统，它与欧几里得几何系统相并列。v后来，人们又证明了这两个部分地互相矛盾的几何系统竟然是相对相容的，亦即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾。v这样，罗氏几何的地位就得到了确立。v几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。v鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。v他的父亲数学家鲍耶法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。v但鲍耶雅诺什坚持为发展新的
13、几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。v高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。v但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。founders of non-euclidean geometry nikolaiivanovichlobachevsky(1793-1856)russiajohann carl friedrich gauss(1777-1855)germany罗巴切夫斯基v俄罗斯数学家，非欧几何的
14、早期发现人之一。v罗巴切夫斯基在尝试证明平行公理时发现以前所有的证明都无法逃脱循环论证的错误。v于是，他作出假定：过直线外一点，可以作无数条直线与已知直线平行。v如果这假定被否定，则就证明了平行公理 。v 然而，他不仅没有能否定这个命题，而且用它同其他欧氏几何中与平行公理无关的命题一起展开推论，得到了一个逻辑合理的新的几何体系非欧几里得几何学，这就是后来人们所说的罗氏几何。v罗氏几何的创立对几何学和整个数学的发展起了巨大的作用，但一开始并没有引起重视，直到罗巴切夫斯基去世后12年才逐渐被广泛认同。v罗巴切夫斯基在数学分析和代数学方面也有一定成就。 匈牙利数学家匈牙利数学家 鲍耶鲍耶v以毕生时间
15、试图证明欧几里德关于平行线不相交的第五公设。v在格丁根大学学习时成了著名数学家高斯的密友，保持通信直到1855年高斯逝世。v他几乎与科学界完全隔绝，但仍然不倦地研究平行线的公理。匈牙利数学家匈牙利数学家 鲍耶鲍耶v1804年他把一种证明寄给高斯，高斯指出了其中的缺陷，但他还继续研究。 v在罗氏几何创立28年以后，1854年黎曼（georg riemann，18261866）又建立了另外一种“过直线外一点不能引出与该直线不相交的直线”的几何新体系黎曼几何。v如所知，黎曼几何在爱因斯坦1915年创立“广义相对论”后，已得到了证实和应用。黎曼vv“我对于把一切与物理规律结合起来的数学研究非常入迷。”
16、 黎曼黎曼v德国数学家，对数学分析和微分几德国数学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼名字出现在黎曼函数，黎曼积分，函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。回环矩阵和黎曼曲面中。v他初次登台作了题为他初次登台作了题为“论作为几何论作为几何基础的假设基础的假设”的演讲，开创了黎曼的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供
17、了数学基础。提供了数学基础。v他在他在1857年升为格丁根大学的编外年升为格丁根大学的编外教授，并在教授，并在1859年狄利克雷去世后年狄利克雷去世后成为正教授。成为正教授。v1851年，黎曼发表博士论文，后来被称为整个19世纪最重要的数学论文。v黎曼是狄利克雷（dirichlet，1805-1859）的学生，他在论文中引用了狄利克雷原理。德国数学家 狄利克雷v对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。曾受教于物理学家欧姆、数学家傅里叶的影响 。1855年接任高斯在哥廷根大学的教授职位。 v在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。v1837年他提出函数是x与y之间
18、的一种对应关系的现代观点。 v在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。v1863年狄利克雷撰写了数论讲义，对高斯划时代的著作算术研究作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。v1837年，他构造了狄利克雷级数。v18381839年，他得到确定二次型 类数的公式。v1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。 v魏尔斯特拉斯(weierstrass，1815-1897)：“不加证明利用狄利克雷是不恰当的，但是有道理的，我相信我能够得到这个原理的一个证明。”魏尔斯特拉斯v他是把严格的论证引进分析学的一位大师，为分析严密化作出了不可磨灭的贡献，是分析算术化运动的开创者之
19、一。 v他证明了（1860）：任何有界无穷点集，一定存在一个极限点。v早在1860年的一次演讲中，他从自然数导出了有理数，然后用递增有界数列的极限来定义无理数，从而得到了整个实数系。v这是一种成功地为微积分奠定理论基础的理论。 v为了说明直觉的不可靠， 1872年7月18日魏尔斯特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，构造了一个连续函数却处处不可微的例子，震惊了整个数学界。v这个例子推动了人们去构造更多的函数，这样的函数在一个区间上连续或处处连续，但在一个稠密集或在任何点上都不可微。从而推动了函数论的发展。 v早在1842年，魏尔斯特拉斯就有了一致收敛的概念，并利用这一概念给出了级数逐项积分和在积分号
20、下微分的条件。 v1885年，魏尔斯特拉斯所证明的用多项式任意逼近连续函数的定理，是二十世纪的一个广阔研究领域函数构造论，即函数的逼近与插值理论的出发点之一。 v历史条件不具备，黎曼四十岁便去世了，也没能够证明狄利克雷原理。v 1853年，庞加莱 ，柯西等当时最有名气的几位数学家完全否定了黎曼的博士论文。庞加莱、柯西v如此美妙而又有广泛应用前景的狄利克雷原理已经永远的从我们的视野中消失了。v1899年，希尔伯特：“原理稍加修改以后将会是正确的，结论都满足修改后的原理。”v仅仅增加一个“弱”字，复活了原理与黎曼，这是希尔伯特一生中最重要的贡献，直接后果导致泛函分析的诞生。v马克思有句非常有名的话
21、；“倒洗澡水，不要把里面的小孩都倒掉。”v罗巴切夫斯基几何（也叫双曲几何）与黎曼几何（也叫椭圆几何）这两种几何统称为非欧几何。v非欧几何的发现是数学史上一个重要的里程碑，而欧氏几何与非欧几何的天壤之别，根源仅仅在于一条平行公理的不同，这充分显示出公理化方法的威力。v非欧几何的创立大大地促进了几何基础研究的进展，也大大地提高了公理化方法的信誉，接着便有许多数学家致力于公理化方法的研究。v18711872年间，德国数学家康托（cantor）与戴德金（dedekind）不约而同地拟成了连续性公理。v1882年，德国数学家巴士（pasch）又拟成了顺序公理。v正是在这样的基础上，希尔伯特于1899年发
22、表了几何基础一书。v他通过引进一些基本概念（基本元素包括点、线、面，基本关系包括结合、顺序、合同），用结合、顺序、合同、平行、连续这5组公理（共20条）来确定基本概念的涵义并进行逻辑演绎，展开几何理论，形成了一个简明、完整、逻辑严谨的几何形式化公理系统，从而最终地解决了欧氏几何的缺陷，完善了几何学的公理化方法。v不仅如此，该书还给出了证明一公理系统相容性、独立性的普遍原则，从此公理化方法进入了数学的其它各个分支。20世纪以来数学家们以希尔伯特的几何公理系统为楷模，努力为各个数学分支建立公理化体系。v几乎所有数学和逻辑的分支与某些物理学以及其它科学的分支，从二十世纪开始，都经过了公理方法的分析研
23、究。 富兰克林 david hilbert (1862-1943)vgerman mathematician who set forth the first rigorous set of geometrical axioms in foundations of geometry(1899).he also proved his system to be self-consistent. vhis many contributions span number theory ， mathematical logic, differential equations, and the three-b
24、ody problem. he also proved warings theorem. vat the paris international congress of 1900, hilbert proposed 23 outstanding problems in mathematics to whose solutions he thought twentieth century mathematicians should devote themselves. vthese problems have come to be known as hilberts problems, and
25、a number still remain unsolved today.v“你使得我们所有的人，都仅仅在思考你想让我们思考的问题”实质公理化（古典公理化）与形式公理化（现代公理化）实质公理化方法v 欧几里得的公理体系被认为是实质公理系统，也就是说，这种公理体系实质上是对经验知识的系统整理。v 这种公理体系具有特定的对象，公设、公理的确立只是为了刻画这些对象的根本特点，或者说，这一公理体系被认为是从属于这些特定对象的。v正因为如此，研究对象先于公理给出，它是一种“对象公理演绎”系统。v其公理具有“自明性”。v由于这些对象具有明显的直观背景现实空间（因而是“实”的或“具体”的），从而人们就可以用
26、所谓的直观性来作为公理的判断依据。形式公理化方法v希尔伯特的公理体系被认为是形式公理系统，也就是说，公理系统中的基本概念只具“形式”而不具“内容”，公理组所阐述的是对基本概念的规定，而不是基本概念“自明”的特征。v形式化公理系统反映的不只是特定的研究对象的性质，而是许多具有相同结构的对象的共同性质。v也就是说，不再是由对象决定公理，而是由公理来决定对象。v谁能满足公理组所要求的条件，谁就可以作为该公理系统的基本对象。v所以只要满足给定的公理，称它们是什么是无关紧要的，这正如希尔伯特所说： “我们必定可以用桌子、椅子和啤酒来我们必定可以用桌子、椅子和啤酒来代替点、线、面代替点、线、面”。例子v希
27、尔伯特公理体系中的结合公理(i3)：每一条直线至少有两个点。每一条直线至少有两个点。 v其实表示的是以下逻辑结构： xl(yp(zp(yz) (yrx) (zrx) 即， 每个l类对象都有两个不同的p类对象与之发生r关系。解释：v通常意义下的直线(l)、点(p)及点在直线上(r)；v球面上的大圆(l) 、对径点(p) 、对径点在大圆上(r)。v正因为如此，在形式化公理系统中，基本概念规定为不加定义的原始概念，它不是先于公理而确定，而是与公理同时出现，其涵义、特征和范围由公理组隐含确定。v而且，对原始概念的解释被当作系统之外的事，在系统内，它只是作为一种“假设”。v即是说，形式化公理系统与实质公
28、理系统不同，是一种“假设演绎”系统。v形式公理排除直观默认，其公理也不再具有“自明性”，而只是作为演绎基础的“假设”。v形式公理系统的发展推动了数学基础的研究，也导致了数学观的深刻变化：数学研究重要的并不在于研究的对象是什么；而在于对象间的关系（逻辑结构和形式）。v形式公理化方法使数学理论达到了更高的抽象，并扩大了它的应用范围。数学公理化方法的逻辑特征数学公理化方法的逻辑特征（或基本问题、基本内容）（或基本问题、基本内容）v运用数学公理化方法的关键在于如何确立基本概念和公理，这也就是数学公理化方法的基本问题或基本内容。v基本概念应是最原始、最简单的思想规定。在形式化公理系统里，基本概念是由公理
29、组隐含地定义的。v公理是对基本概念相互关系的规定。它的选取和设置必须符合三条要求，即相容性相容性、独立性独立性和完备性完备性，这三个方面构成了公理化方法的逻辑特征，这也是判别一个公理系统是否科学合理的准则。相容性（或无矛盾性、协调性）v相容性是指一个公理系统不能自相矛盾,即该系统中的所有公理连同它的一切推论在内,不含有任何相互矛盾的命题。v很显然，这是对公理系统的最基本要求，否则，就不具有存在的价值。v如何证明给定的公理系统的相容性呢？v很显然，想直接通过“由公理组作出全部可能的推论并指出其中没有矛盾”这种方法来证明一般来说是很困难的。v原因很简单，因为全部可能的推论一般是无限的，我们很难用穷
30、举的方法来逐一验证，而经过大量但却是有限的推导没有导出矛盾，并不等于永远推不出矛盾。v这种方法只适合于命题项数较少的小范围的理论系统，如数理逻辑中的真值函数公理系统和谓词演算公理系统等。v数学上常采用一种间接的方法即“解释法”或“模型法”来证明。模型法的基本思想v构造模型（或解释）的基本方法如下：v将公理组中的每一不定义的概念与某一对象的集合相对应，而且要求对应于不同概念的集合没有公共元素，然后使公理组中的基本概念的每一关系对应着对应集合元素间的某一确定的关系，我们把所得的集合与关系的全体叫做解释域。v这样，公理组中的每一条公理自然地对应于解释域中的某一个命题（或性质）。v如果公理组中的全部公
31、理在这个解释下的命题均为真的，那么，我们就把这个解释称为是所给公理体系的模型。v即能作出，“如果某一公理体系（即原型）是相容的，那么另一公理体系也是相容的”的判断。v因为一个公理体系有无矛盾归根结底在于其公理组有无矛盾，而一个公理组的无矛盾性可由其模型的无矛盾性来保证，否则的话，公理组的矛盾将会导出模型的矛盾。vv用解释法（或模型法）能够证明一个公理体系的相对相容性。v解释法实质上是将一个公理系统的无矛盾性证明化归为了另一公理系统的无矛盾性证明，是一种间接证明。罗氏几何的模型v自从罗氏几何诞生后，由于罗氏平行公理是如此地为常识所不容，这才激起了人们对于数学系统地无矛盾性证明的兴趣和重视。v虽然
32、在罗氏公理系统的展开中一直没有出现矛盾，却不能保证它在今后的展开中一定不出矛盾。v后来，人们在欧氏几何系统中构造出了一个个罗氏几何的模型，在数学史上比较著名的模型有：v庞加莱模型：v在欧氏平面上画一条直线将其分为上下两个半平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，而上半平面内圆心在该直线上的半圆或垂直于该直线的半直线算作是罗氏几何的直线。v庞加莱模型，如图所示。v可以验证，罗氏几何的公理在这个模型上都是成立的。v在这里，我们只朴素地来说一说罗氏平行公理是成立的。v如图所示：vf.克莱因模型：v在欧氏平面内作一个圆，把圆的内部（不包括圆周）当作罗氏平面，圆内
33、部的点即罗氏点，圆的弦算作罗氏几何的直线。v容易验证，罗氏几何的公理都可以在这个模型上用欧氏几何的事实加以解释。v这样，通过上述模型就把罗氏几何的相容性证明化归为了欧氏几何的相容性证明。v人们本来对于欧氏几何的相容性没有怀疑过，但却因为罗氏几何的相容性要由欧氏几何的相容性来保证，从而导致对欧氏几何相容性的重重疑虑。v后来，人们又在罗氏几何的展开中发现，罗氏几何空间中的极限球面上也可构造欧氏模型，亦即欧氏几何的全部公理能在罗氏几何的极限球上实现，这样欧氏几何的相容性又可由罗氏几何的相容性来保证。v这说明，欧氏几何与罗氏几何的公理系统虽然不同，但却是相对相容或互为相容的。v人们当然不满足于两者互相
34、之间的相对相容性证明，因为看上去较为合理的欧氏几何的无矛盾性竟要由很不合理的罗氏几何来保证。因此，必须重新寻求欧氏几何的相容性证明。 v由于那时已经有了解析几何，等于在实数系统中构造了一个欧氏几何的模型，这就把欧氏几何的相容性进一步地归结到了实数论的相容性。v但实数论的相容性如何呢？v后来，戴德金把实数论德无矛盾性归结到了自然数系统的无矛盾性，而frege又把自然数系统的无矛盾性归结为集合论的无矛盾性。v然而，集合论的无矛盾性又如何呢？至今还是个谜。独立性v独立性是指在一个公理系统中，公理组中任何一个公理都不能由其它公理推出。v独立性亦即要求系统中的公理数目减少到最低限度，不允许公理集合中出现
35、多余的公理。v因为多余的公理总可以作为定理推证出来，又何必再把它列为公理呢？ v换言之，独立性实际上是要求公理系统中的每一条都有存在的必要性，从而保证公理的简洁性。v公理系统独立性的证明可以转化为相容性的证明。v我们有下述定理：如果一个相容的公理系统中的某一公理a的否定 ，与公理系统中的其它公理不矛盾（即相容），当且仅当公理a在该公理系统中是独立的。v而公理系统的相容性可以采用解释法或模型法，因此解释法或模型法同样可以证明公理系统的独立性。v我们仍以欧氏和罗氏两个几何公理系统为例。v如前所述，在欧氏和罗氏两个几何公理系统中，除了欧氏平行公设和罗氏平行公理互为相反之外，其余的公设、公理和原始概念
36、均相同。通常人们把两个公理系统的公共部分称为绝对几何公理系统。v因之，欧氏平行公设在欧氏几何公理系统中是否独立于其它公理之事，无非就是欧氏平行公设能否在绝对几何公理系统中作为定理而证明之。v而只要罗氏几何公理系统是无矛盾的，就确保了欧氏平行公设对于绝对几何公理系统的独立性。v否则，若能在绝对几何公理系统中把欧氏平行公设作为定理来证明的话，则罗氏几何公理系统便是矛盾系统，因为此时欧氏平行公设和它的一个否命题即罗氏平行公理在系统中同时成立。v完全类似地，由欧氏几何公理系统的无矛盾性也能确保罗氏平行公理对于绝对几何公理系统的独立性。完备性v完备性的古典定义：v完备性是指在一个公理系统中，公理组选取的
37、数量能保证由公理组推出该系统的全部真命题，亦即保证必要的公理不可少。v由于一个系统可能的命题的个数是没有限制的，因此现代数学常借助模型的同构给公理系统的完备性下定义，这种意义下的完备性也称为范畴性。v这里，所谓模型的同构是指公理系统的两个模型（x,r）与（y,s）间存在着一个双射:xy，使得 ，当且仅当 时成立，其中,v这里为了简便计，假使给定得公理系统中只有一个不定义的概念和一个不定义的关系。vx与y分别是两个模型中基本概念的对象的集合，r与s则分别是这两个集合中的关系。v如果一个公理体系是不完备的，那么就可能再增加新的公理到该体系中。v设该公理体系中允许加入一个与原公理组独立的公理a，则
38、a是一个相容的系统，设它有一个模型m， a也是一个相容的系统，设它有一个模型m。v很显然，m和m都是的模型，它们显然不是同构的。v基于这样的讨论，我们可以把一个公理系统的完备性概念确切地叙述为：v如果已知的公理系统的所有模型都是互相同构的，则该系统称为是完备的。v由此可见，范畴性意义下的完备性比古典的完备性意义更严格些。v可以验证，希尔伯特所给出的欧氏几何公理系统是一个完备的公理系统，因为它的任何一个模型都与该公理系统的笛卡儿模型（即通过解析几何在实数域上构造出来的模型）是同构的，因此互相之间也是同构的。v用类似的办法也可以证明罗氏几何公理系统的完备性。v同样可以验证，群的公理体系是不完备的。
39、因为两个不同的群的模型，其元素个数都可以不同，即它们连一般的一一对应关系也不存在，更谈不上在对应的元素间保有相同的关系了。总述v一般说来，当一个公理系统满足上述三条要求时，即可认为是一个令人满意的系统。v然而遗憾的是，迄今为止，我们还不能轻而易举地证明一个公理系统是否满足这些要求，即使这个公理系统本身并不复杂。v在上述三个公理化方法的逻辑特征中相容性是最重要也是非有不可的。v独立性从理论的完美精炼上讲应该要求，因为公理和定理在整个系统中所处的地位不同，不能混为一谈。 v但是独立性的要求通常可以降低，因为即便是把一个定理不加证明地作为公理也不会出现什么“原则”错误，既不会使公理系统产生矛盾，也不会影响公理系统的完备性。v完备性的要求更可以大大放宽，从某种意义上讲，正因为公理体系不具有范畴性，才使得它具有各式各样的模型，从而获得更广泛的应用，现代数学的许多公理体系就不具有范畴性，如群、环、域等。讨论题v中学公理法教学是采用实质公理化还是形式公理化。v2.从专业的角度看中学平面几何中的公理法教学。讨论题v数学是发现还是发明；v搜集欧氏几何的非希尔伯特系统。