《山东省青岛市局属四校2020年九年级（上）期末数学试卷含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省青岛市局属四校2020年九年级（上）期末数学试卷含解析（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、山东省青岛市局属四校山东省青岛市局属四校 2020 年九年级（上）期末数学试卷含解析年九年级（上）期末数学试卷含解析一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共分，共 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分）1如图所示的几何体的俯视图是（）abcd2一元二次方程 x2 4x5 配方后可变形为（）a （x 2）25b （x 2）29c （x2）29d （x2）2213如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在 c、d 的位置时，乙的影子 da 恰好与甲影子 ca 在同一条直线上，已知甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，甲的影长是 6 米，则甲、乙两同学相距（）米a1b2c3d
2、54如图，要测量小河两岸相对的两点 p，a 的距离，可以在小河边取 pa 的垂线 pb 上的一点 c，测得 pc100 米，pca35，则小河宽 pa 等于（）a100sin35米b100sin55米c100tan35米d100tan55米5如图，取一张长为 a，宽为 b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边 a、b 应满足的条件是（）aabba2bca2bda4b6如图，在正方形 abcd 中，ab2，e 是 ad 中点，be 交 ac 于点 f，df 的长为（）abcd7如图，二次函数 yax2 c 的图象与反比例函数 y的图象
3、相交于 a（，1） ，则关于 x 的不等式 ax2 c的解集为（）axbxcx或 x0dx18已知二次函数 yax2 bx c（a0） ，函数 y 与自变量 x 的部分对应如下表所示：x10123y23676下列说法：abc0；a b c6；b24ac0；当 y6 时，x1；关于 x的方程 ax2 bx c3 的解是 x10，x24正确的有（）个a2b3c4d5二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 18 分，共分，共 6 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分）9若关于 x 的一元二次方程 x2 4x k0 有实数根，则 k 的取值范围是 10如图，在平面直角坐标系中，已知点 a（2，4
4、） ，b（4，2） ，以原点 o 为位似中心，相似比为，把abo 缩小，则点 a 的对应点 a的坐标是 11已知函数 y与 yx 1 的图象的交点坐标是（a，b） ，则 的值为 12如图，矩形 abcd 的对角线交于点 o，点 e 是矩形外一点，cebd，beac，abd30，连接 ae 交 bd 于点 f、连接 cf若 ac8，则线段 cf 的长为 13体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 oa，a 处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图 1） a 点距离水平面为米，即oa如果曲线 apb 表示的是落点 b 离点 o 最远的一条水流（如图 2） ，
5、水流喷出的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系式是 yax2 bx c（x0） ，该抛物线的顶点是（2，） ，那么圆形水池的半径至少为 米时，才能使喷出的水流不至于落在池外14如图是由若干个小正方体组成的阴影部分是空缺的通道，一直通到对面这个立体图形由 个小正方体组成三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 4 分）分）15 （4 分）尺规作图：如图，已知 和线段 a，求作：菱形 abcd，使dab，对角线 aca四、解答题：四、解答题：16 （6 分） （1）解方程：（x3）27x21（2）计算：tan2602sin30cos4517 （6 分）在一个袋子中装有大小相同的 4 个小球
6、，其中 1 个蓝色，3 个红色（1）从袋中随机摸出 1 个，求摸到的是蓝色小球的概率；（2）从袋中随机摸出 2 个，用列表法或树状图法求摸到的都是红色小球的概率；（3）在这个袋中加入 x 个红色小球，进行如下试验：随机摸出 1 个，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在 0.9，则可以推算出 x 的值大约是多少？18 （8 分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课 45 分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散经过实验分析可知，学生的注意力指标数
7、y 随时间 x（分钟）的变化规律如图所示（其中 ab，bc 分别为线段，bcx 轴，cd 为双曲线的一部分） ，其中 ab 段的关系式为 y2x 20（1）根据图中数据，求出 cd 段双曲线的关系式；（2）一道数学竞赛题，需要讲 20 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到 32，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？19 （6 分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦 ab74 米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户 c 处测得大厦顶部 a 的仰角为 37，大厦底部 b 的俯角为 48求小明家所在居民楼与大厦的距离 cd 的长度 （参
8、考数据：sin37，tan37，sin48，tan48）20 （8 分）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用 1400 元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数购买件数销售价格不超过 30 件单价 40 元超过 30 件每多买 1 件，购买的所有衬衫单价降低 0.5 元，但单价不得低于30 元21 （8 分）如图，在平行四边形 abcd 中，对角线 ac、bd 相交于点o，bd2bc，e、f、g 分别是 oc、od、ab 的中点求证：（1）beac；（2）连接 af，求证：四边形 agef 是菱形22 （10 分）某工厂设计
9、了一款成本为 20 元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价 x（元件）30405060每天销售量 y（件）500400300200（1）研究发现，每天销售量 y 与单价 x 满足一次函数关系，求出 y 与 x 的关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？23 （10 分）问题提出：将一个边长为 n（n2）的菱形的四条边分别 n 等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？【问题探究】要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律探究一：将一个边长为 2 的菱形的
10、四条边分别 2 等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？如图 1，从上往下，共有 2 行，我们先研究平行四边形的个数：（1）第一行有斜边长为 1，底长为 12 的平行四边形，共有 2 11（2 1）个（2）第二行有斜边长为 1，底长为 12 的平行四边形，共有 2 11（2 1）个为便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形，以下各行类同第二行因此第二行还包括斜边长为 2，底长为 12 的平行四边形，共有 2 11（2 1）个即：第二行平行四边形总共有 2（2 1）个所以如图 1，平行四边形共有
11、2（2 1） 1（2 1）（2 1） （2 1）（2 1）2个我们再研究菱形的个数：分析：边长为 1 的菱形共有 2 个，边长为 2 的菱形共有 12个所以：如图 1，菱形共有 22 125235 个探究二：将一个边长为 3 的菱形的四条边分别 3 等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？如图 2，从上往下，共有 3 行，我们先研究平行四边形的个数：（1）第一行有斜边长为 1，底长为 13 的平行四边形，共有 3 2 11（3 2 1）个（2）第二行有斜边长为 1，底长为 13 的平行四边形，共有 3 2 11（3 2 1）个底在第二行还包
12、括斜边长为 2，底长为 13 的平行四边形，共有3 2 11（3 2 1）个即：第二行平行四边形总共有 2（3 2 1）个（3）第三行有斜边长为 1，底长为 13 的平行四边形，共有 3 2 11（3 2 1）个底在第三行平行四边形还包括斜边长为 2，底长为 13 的平行四边形，共有3 2 11（3 2 1）个底在第三行平行四边形还包括斜边长为 3，底长为 13 的平行四边形，共有3 2 11（3 2 1）个即：第三行平行四边形总共有 3（3 2 1）个所以：如图 2，平行四边形共有 3（3 2 1） 2（3 2 1） 1（3 2 1）（3 2 1） （3 2 1）（3 2 1）2个我们再研究
13、菱形的个数：分析：边长为 1 的菱形共有 32个，边长为 2 的菱形共有 22个，边长为 3 的菱形共有 12个所以：如图 2，菱形共有 32 22 1214347 个探究三：将一个边长为 4 的菱形的四条边 4 等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？如图 3，从上往下，共有 4 行，我们先研究平行四边形的个数：（1）第一行有斜边长为 1，底长为 14 的平行四边形，共有4 3 2 11（4 3 2 1）个（2）第二行有斜边长为 1，底长为 14 的平行四边形，共有4 3 2 11（4 3 2 1）个底在第二行还包括斜边长为 2，底长为
14、14 的平行四边形，共有4 3 2 11（4 3 2 1）个即：第二行平行四边形总共有 2（4 3 2 1）个（3）模仿上面的探究，写出图 3 中第三行探究过程；（4）按照以上规律，第四行平行四边形总共有 个所以：如图 3，平行四边形共有 个我们再研究菱形的个数：分析：边长为 1 的菱形共有 42个，边长为 2 的菱形共有 32个，边长为 3 的菱形共有 22个，边长为 4 的菱形共有 12个所以：如图 3，菱形共有 42 32 22 1230459 个【问题解决】将一个边长为 n（n2）的菱形的四条边 n 等分，连接对边对应的等分点，根据上面的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数
15、是 ，菱形的个数是 （用 n 表示） 【实际应用】将一个边长为 n（n2）的菱形的四条边都 n 等分，连接对边对应的等分点，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是 225 个，则 n 【拓展延伸】将一个边长为 n（n2）的菱形的四条边 n 等分，连接对边对应的等分点，根据上面的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数与菱形的个数之比是 135：19 时，n 的值 24 （12 分）如图，在矩形 abcd 中，ab6cm，bc8cm如果点 e 由点 b 出发沿 bc方向向点 c 匀速运动，同时点 f 由点 d 出发沿 da 方向向点 a 匀速运动，它们的速度分别为 2cm 和 1c
16、m，fqbc，分别交 ac、bc 于点 p 和点 q，连接 ef、ep，设运动时间为 t（s） （0t4）（1）连接 dq，若四边形 eqdf 为平行四边形，则 t 的值是 ；（2）设epf 的面积为 ycm2，求 y 与 t 的函数关系式；（3）运动时间 t 为何值时，efac？2019-2020 学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期末数学试学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期末数学试卷卷答案与试题解析答案与试题解析一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共分，共 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分）1如图所示的几何体的俯视图是（）abcd【分析】根据三视图的意义和
17、画法，看不见的轮廓线用虚线表示，可得答案【解答】解：从上面看到的图形是一个长方形，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，因此选项 d 中的图形，符合题意，故选：d2一元二次方程 x2 4x5 配方后可变形为（）a （x 2）25b （x 2）29c （x2）29d （x2）221【分析】两边配上一次项系数一半的平方可得【解答】解：x2 4x5，x2 4x 45 4，即（x 2）29，故选：b3如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在 c、d 的位置时，乙的影子 da 恰好与甲影子 ca 在同一条直线上，已知甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，甲的影长是 6 米，则甲、乙两同
18、学相距（）米a1b2c3d5【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答【解答】解：设两个同学相距 x 米，adeacb，解得：x1故选：a4如图，要测量小河两岸相对的两点 p，a 的距离，可以在小河边取 pa 的垂线 pb 上的一点 c，测得 pc100 米，pca35，则小河宽 pa 等于（）a100sin35米b100sin55米c100tan35米d100tan55米【分析】根据正切函数可求小河宽 pa 的长度【解答】解：papb，pc100 米，pca35，小河宽 papctanpca100tan35米故选：c5如图，取一张长为 a，宽为 b
19、 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边 a、b 应满足的条件是（）aabba2bca2bda4b【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解【解答】解：对折两次后的小长方形的长为 b，宽为a，小长方形与原长方形相似，a2b故选：b6如图，在正方形 abcd 中，ab2，e 是 ad 中点，be 交 ac 于点 f，df 的长为（）abcd【分析】先在 rtabe 中利用勾股定理求出 be，再证明afecfb，根据相似三角形对应边成比例得出 bfbe，然后证明adfabf，即可得出dfbf【解
20、答】解：在正方形 abcd 中，ab2，e 是 ad 中点，bae90，aeadab1，beaebc，afecfb，bf2ef，bf efbe，bfbe在adf 与abf 中，adfabf，dfbf故选：c7如图，二次函数 yax2 c 的图象与反比例函数 y的图象相交于 a（，1） ，则关于 x 的不等式 ax2 c的解集为（）axbxcx或 x0dx1【分析】把点 p 的纵坐标代入反比例函数解析式求出点 p 的坐标，再根据函数图象写出抛物线在双曲线上方部分的 x 的取值范围即可【解答】解：点 a 横坐标为，不等式 ax2 c的解集是 x或 x0故选：c8已知二次函数 yax2 bx c（a
21、0） ，函数 y 与自变量 x 的部分对应如下表所示：x10123y23676下列说法：abc0；a b c6；b24ac0；当 y6 时，x1；关于 x的方程 ax2 bx c3 的解是 x10，x24正确的有（）个a2b3c4d5【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线 x2，该函数的顶点坐标是（2，7） ，有最大值，开口向下，a0，x0 时，yc3，c0，2，b4a0，abc0，故错误；图像经过点（1，6） ，a b c6，故正确；由表格可得，抛物线与 x 轴有两个交点，b24ac0，故正确；由表
22、格可得，当 y6 时，x1，故正确；函数的对称轴为直线 x2，点（0，3）关于对称轴的对称点为（4，3） ，关于 x 的方程 ax2 bx c3 的解是 x10，x24故正确；故选：c二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 18 分，共分，共 6 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分）9若关于 x 的一元二次方程 x2 4x k0 有实数根，则 k 的取值范围是k4【分析】根据判别式的意义得到424k0，然后解不等式即可【解答】解：根据题意得424k0，解得 k4故答案为：k410如图，在平面直角坐标系中，已知点 a（2，4） ，b（4，2） ，以原点 o 为位似中心，相似比为，把abo
23、 缩小，则点 a 的对应点 a的坐标是（1，2）或（1，2）【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k，把 a 点的横纵坐标分别乘以或即可得到点 a的坐标【解答】解：以原点 o 为位似中心，相似比为，把abo 缩小，点 a 的对应点 a的坐标是（2，4）或2（） ，4（），即点 a的坐标为：（1，2）或（1，2） 故答案为：（1，2）或（1，2） 11已知函数 y与 yx 1 的图象的交点坐标是（a，b） ，则 的值为【分析】根据函数 y与 yx 1 的图象的交点坐标是（a，b） ，得出ab6，a b1，再把要求的式子进行变形，然后代值计算
24、即可【解答】解：函数 y与 yx 1 的图象的交点坐标是（a，b） ，b，ba 1，ab6，a b1， ；故答案为12如图，矩形 abcd 的对角线交于点 o，点 e 是矩形外一点，cebd，beac，abd30，连接 ae 交 bd 于点 f、连接 cf若 ac8，则线段 cf 的长为2【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形 obec 是平行四边形，根据矩形的性质得到 oboc，根据菱形的判定定理即可得到平行四边形 obec 是菱形，可得beocao，由“aas”可证aofebf，可得 bfof，推出obc 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到 cfob，解直角三角形即可得到结论【解答
25、】解：（1）cebd，beac，四边形 obec 是平行四边形，四边形 abcd 是矩形，acbd，obbd，ocac，oboc，平行四边形 obec 是菱形；ocbeoa，beac，oafbef，在aof 与ebf 中，aofebf（aas） ，ofbf，ac8，bd8，ocob4，abd30，obc60，obc 是等边三角形，cfob，cfoc2故答案为：213体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 oa，a 处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图 1） a 点距离水平面为米，即oa如果曲线 apb 表示的是落点 b 离点 o 最远的一条水流（如图
26、 2） ，水流喷出的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系式是 yax2 bx c（x0） ，该抛物线的顶点是（2，） ，那么圆形水池的半径至少为4.5米时，才能使喷出的水流不至于落在池外【分析】直接利用顶点式求出二次函数解析式，进而得出 a 的值，求出答案即可【解答】解：由题意可得，设抛物线解析式为：ya（x2）2 ，当 x0 时，y，则a（02）2 ，解得：a1，故抛物线解析式为：y（x2）2 ，当 y0 时，0（x2）2 ，解得：x14.5，x20.5，故圆形水池的半径至少为 4.5 米时，才能使喷出的水流不至于落在池外故答案为：4.514如图是由若干个小正方体组成的阴影部分是空缺
27、的通道，一直通到对面这个立体图形由38个小正方体组成【分析】由题意，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，即中间有重复，因此可分层计数，从前往后分为 4 层，画出每层的示意图进行计数即可【解答】解：从前往后分层数，如图所示：共有 13 6 6 1338 个，答：这个立体图形由 38 个小正方体组成故答案为：38三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 4 分）分）15 （4 分）尺规作图：如图，已知 和线段 a，求作：菱形 abcd，使dab，对角线 aca【分析】作man，作man 的角平分线 ap，在射线 ap 时截取 aca，作线段ac 的垂直平分线交 am 于 d，交 an 于 b，连接
28、 cd，bc，四边形 abcd 即为所求作【解答】解：如图，四边形 abcd 即为所求作四、解答题：四、解答题：16 （6 分） （1）解方程：（x3）27x21（2）计算：tan2602sin30cos45【分析】 （1）利用因式分解法求解即可；（2）代入特殊锐角的三角函数值，再计算乘方和乘法，最后计算加减即可【解答】解：（1）（x3）27x21，（x3）27（x3）0，则（x3） （x10）0，x30 或 x100，解得 x13，x210；（2）原式（）22311117 （6 分）在一个袋子中装有大小相同的 4 个小球，其中 1 个蓝色，3 个红色（1）从袋中随机摸出 1 个，求摸到的是蓝
29、色小球的概率；（2）从袋中随机摸出 2 个，用列表法或树状图法求摸到的都是红色小球的概率；（3）在这个袋中加入 x 个红色小球，进行如下试验：随机摸出 1 个，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在 0.9，则可以推算出 x 的值大约是多少？【分析】 （1）根据概率公式可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式计算可得；（3）根据大量重复实验时，频率可估计概率列出方程求解可得【解答】解：（1）4 个小球中，有 1 个蓝色小球，p（蓝色小球）；（2）画树状图如下：共有 12 种情况，摸到的都是红色小球的情况有 6 种，p（摸到的都是红色小球）；（
30、3）大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在 0.9，摸到红色小球的概率等于 0.9，0.9，解得：x618 （8 分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课 45 分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散经过实验分析可知，学生的注意力指标数 y 随时间 x（分钟）的变化规律如图所示（其中 ab，bc 分别为线段，bcx 轴，cd 为双曲线的一部分） ，其中 ab 段的关系式为 y2x 20（1）根据图中数据，求出 cd 段双曲线的关系式；（2）一道数学竞赛题，需要讲 20 分钟，为
31、了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到 32，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【分析】 （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可；（2）分别求出注意力指数为 32 时的两个时间，再将两时间之差和 20 比较，大于 20 则能讲完，否则不能【解答】解：（1）ab 段的关系式为 y2x 20，当 x10 时，y40，点 b 的坐标为（10，40） ，点 c 的坐标为（24，40） ，设 c、d 所在双曲线的解析式为 y2，把 c（24，40）代入得，k960，y（x24） （2）令 y2x 2032，322x 20，x6令 y3
32、2，x30，3062420，经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目19 （6 分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦 ab74 米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户 c 处测得大厦顶部 a 的仰角为 37，大厦底部 b 的俯角为 48求小明家所在居民楼与大厦的距离 cd 的长度 （参考数据：sin37，tan37，sin48，tan48）【分析】利用所给角的三角函数用 cd 表示出 ad、bd；根据 abad bd74 米，即可求得居民楼与大厦的距离【解答】解：设 cdx 米在 rtacd 中，tan37，则，adx；在 rtbcd 中，tan48，则
33、，bdxad bdab，x x74，解得：x40，答：小明家所在居民楼与大厦的距离 cd 的长度是 40 米20 （8 分）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用 1400 元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数购买件数销售价格不超过 30 件单价 40 元超过 30 件每多买 1 件，购买的所有衬衫单价降低 0.5 元，但单价不得低于30 元【分析】根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案【解答】解：304012001400，奖品数超过了 30 件，设总数为 x 件，则每件商品的价格
34、为：40（x30）0.5元，根据题意可得：x40（x30）0.51400，解得：x140，x270，x70 时，40（7030）0.52030，x70 不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为 40 件21 （8 分）如图，在平行四边形 abcd 中，对角线 ac、bd 相交于点o，bd2bc，e、f、g 分别是 oc、od、ab 的中点求证：（1）beac；（2）连接 af，求证：四边形 agef 是菱形【分析】 （1）由平行四边形的性质可得 obbc，由等腰三角形的性质可得出beac；（2）由直角三角形的性质和三角形中位线定理可得到 egef，根据平行四边形的性质和菱形的判定定理即可得到
35、结论【解答】解：（1）四边形 abcd 是平行四边形，bobd，即 bd2bo，又bd2bc，obbc，又点 e 是 oc 的中点，beac；（2）e、f 分别是 oc、od 的中点，efcd，点 g 是 rtabe 斜边 ab 上的中点，geagab，又平行四边形 abcd 中，abcd，abcd，egefag，efag，四边形 agef 是菱形22 （10 分）某工厂设计了一款成本为 20 元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价 x（元件）30405060每天销售量 y（件）500400300200（1）研究发现，每天销售量 y 与单价 x 满足一次函数关系，求出
36、 y 与 x 的关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？【分析】 （1）根据表格中的 x、y 的值利用待定系数法确定一次函数的解析式即可；（2）根据销售利润销售量（售价进价） ，列出平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润【解答】解：（1）由表格数据可推想函数表达式为一次函数，设：函数 y 与 x 的表达式为：ykx b，将（30，500） ， （40，400）代入表达式得：k10，b800函数关系式为：y10x 800；（2）工艺品每天获得的利润为 w 元，由题意得：w（x20） （1
37、0x 800）10（x50）2 9000，当 x50 时，每天获得的利润最大，为 9000 元23 （10 分）问题提出：将一个边长为 n（n2）的菱形的四条边分别 n 等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？【问题探究】要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律探究一：将一个边长为 2 的菱形的四条边分别 2 等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？如图 1，从上往下，共有 2 行，我们先研究平行四边形的个数：（1）第一行有斜边长为 1，底长为 12 的平行四边形，共有
38、2 11（2 1）个（2）第二行有斜边长为 1，底长为 12 的平行四边形，共有 2 11（2 1）个为便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形，以下各行类同第二行因此第二行还包括斜边长为 2，底长为 12 的平行四边形，共有 2 11（2 1）个即：第二行平行四边形总共有 2（2 1）个所以如图 1，平行四边形共有 2（2 1） 1（2 1）（2 1） （2 1）（2 1）2个我们再研究菱形的个数：分析：边长为 1 的菱形共有 2 个，边长为 2 的菱形共有 12个所以：如图 1，菱形共有 22 125235 个探究二：将一个边长为 3 的菱形的
39、四条边分别 3 等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？如图 2，从上往下，共有 3 行，我们先研究平行四边形的个数：（1）第一行有斜边长为 1，底长为 13 的平行四边形，共有 3 2 11（3 2 1）个（2）第二行有斜边长为 1，底长为 13 的平行四边形，共有 3 2 11（3 2 1）个底在第二行还包括斜边长为 2，底长为 13 的平行四边形，共有3 2 11（3 2 1）个即：第二行平行四边形总共有 2（3 2 1）个（3）第三行有斜边长为 1，底长为 13 的平行四边形，共有 3 2 11（3 2 1）个底在第三行平行四边形还
40、包括斜边长为 2，底长为 13 的平行四边形，共有3 2 11（3 2 1）个底在第三行平行四边形还包括斜边长为 3，底长为 13 的平行四边形，共有3 2 11（3 2 1）个即：第三行平行四边形总共有 3（3 2 1）个所以：如图 2，平行四边形共有 3（3 2 1） 2（3 2 1） 1（3 2 1）（3 2 1） （3 2 1）（3 2 1）2个我们再研究菱形的个数：分析：边长为 1 的菱形共有 32个，边长为 2 的菱形共有 22个，边长为 3 的菱形共有 12个所以：如图 2，菱形共有 32 22 1214347 个探究三：将一个边长为 4 的菱形的四条边 4 等分，连接对边对应的
41、等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢？如图 3，从上往下，共有 4 行，我们先研究平行四边形的个数：（1）第一行有斜边长为 1，底长为 14 的平行四边形，共有4 3 2 11（4 3 2 1）个（2）第二行有斜边长为 1，底长为 14 的平行四边形，共有4 3 2 11（4 3 2 1）个底在第二行还包括斜边长为 2，底长为 14 的平行四边形，共有4 3 2 11（4 3 2 1）个即：第二行平行四边形总共有 2（4 3 2 1）个（3）模仿上面的探究，写出图 3 中第三行探究过程；（4）按照以上规律，第四行平行四边形总共有4（4 3 2 1）个所以：如
42、图 3，平行四边形共有（4 3 2 1）2个我们再研究菱形的个数：分析：边长为 1 的菱形共有 42个，边长为 2 的菱形共有 32个，边长为 3 的菱形共有 22个，边长为 4 的菱形共有 12个所以：如图 3，菱形共有 42 32 22 1230459 个【问题解决】将一个边长为 n（n2）的菱形的四条边 n 等分，连接对边对应的等分点，根据上面的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是（n n1 n2 1）2，菱形的个数是（用 n 表示） 【实际应用】将一个边长为 n（n2）的菱形的四条边都 n 等分，连接对边对应的等分点，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是 225
43、个，则 n5【拓展延伸】将一个边长为 n（n2）的菱形的四条边 n 等分，连接对边对应的等分点，根据上面的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数与菱形的个数之比是 135：19 时，n 的值9【分析】本题是找规律的试题，通过第一行，第二行，第三行，进而推出第四行的规律为 4（4 3 2 1）个，在通过边数得到平行四边形的个数（n n1 n2 1）2，菱形的个数为，再通过找规律得到其他答案【解答】解：【问题探究】第三行有斜边长为 1，底长为 14 的平行四边形，共有 4 3 2 11（4 3 2 1）个底在第三行还包括斜边长为 2，底长为 14 的平行四边形，共有 4 3 2 11（4
44、 3 2 1）个底在第三行还包括斜边长为 3，底长为 14 的平行四边形，共有 4 3 2 11（4 3 2 1）个即：第三行平行四边形总共有 3（4 3 2 1）个按照以上规律，第四行平行四边形共有 4（4 3 2 1）个，所以，如图 3，平行四边形共有 4x（4 3 2 1） 3（4 3 2 1） 2（4 3 2 1） 1（4 3 2 1）（4 3 2 1）（4 3 2 1）（4 3 2 1）2个【问题解决】将一个边长为 n（n2）的菱形的四条边都几等分，连接对边对应的等分点，根据上面的规律，得出该菱形的补剖分的网格中的平行四边形的个数是 （n n1 n2 1）2个，菱形的个数n（n 1）
45、 （2n 1）个根据题意可得，（n n1 n2 1）2225，n n1 n2 115，n5【延伸拓展】sn （n1） （n2） 1， s1 2 3 n， ，得 2sn（n 1） ，s，根据题意可得，解得：n9，或者（舍去） ，故 n 的值为 924 （12 分）如图，在矩形 abcd 中，ab6cm，bc8cm如果点 e 由点 b 出发沿 bc方向向点 c 匀速运动，同时点 f 由点 d 出发沿 da 方向向点 a 匀速运动，它们的速度分别为 2cm 和 1cm，fqbc，分别交 ac、bc 于点 p 和点 q，连接 ef、ep，设运动时间为 t（s） （0t4）（1）连接 dq，若四边形 e
46、qdf 为平行四边形，则 t 的值是2；（2）设epf 的面积为 ycm2，求 y 与 t 的函数关系式；（3）运动时间 t 为何值时，efac？【分析】 （1）由四边形 eqdf 为平行四边形，可得：dfeq，然后分别用含有 t 的式子表示 df 与 eq 即可求 t 的值；（2）证明cpqcab，则，即，得到 pq，则pffqpq6t，由（1）知 eq83t，即可求解；（3）先确定出 ac10，进而得出acb 的余弦值，利用三角函数得出 cp，cg，即可得出 pg，再判断出pfgefq，建立方程即可得出结论，【解答】解：（1）在矩形 abcd 中，ab6cm，bc8cm，abcd6cm，a
47、dbc8cm，badadcdcbb90，由勾股定理得：ac10，fqbc，fqc90，四边形 cdfq 是矩形，dfqc，dcfq6cm，点 e 由点 b 出发沿 bc 方向向点 c 匀速运动，同时点 f 由点 d 出发沿 da 方向向点a 匀速运动，它们的速度分别为 2cm/s 和 1cm/s，t 秒后，be2t，dfqct，eqbcbeqc83t，四边形 eqdf 为平行四边形，fdeq，即：83tt，解得：t2，故答案为 2；（2）fqc90，b90，fqcb，pqab，cpqcab，即，pqt，则 pffqpq6t，由（1）知 eq83t，ypfeq（6t） （83t）t212t 24；（3）在矩形 abcd 中，ab6，bc8，根据勾股定理得，ac10，bdbcd90，fqbc 于 q，四边形 cdfq 是矩形，cqdf，由运动知，be2t，dft，cqt，cebcbe82t，af8t，eqcecq83t，在 rtabc 中，cosacb，在 rtcpq 中，cosacb，cpt，efac，cge90abc，acb feq90，acb bac90，feqbac，abceqf，即，eq，83t，解得：t（s）