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1、函数补充知识函数补充知识【初等函数】【初等函数】1 1、抽象函数的周期（1）f（ax)=f(bx)t=|b-a|（2）f（ax)=-f(bx)t=2|b-a|（3）f(x-a) f(x a)=f(x)t=6a（4）f(x-a)=f(x a)t=2a（5）f(x a)=-f(x)t=2a2奇偶函数概念的推广及其周期：（1）对于函数 f（x） ，若存在常数 a，使得 f（a-x）=f（a x） ，则称 f（x）为广义（）型偶函数，且当有两个相异实数 a，b 同时满足时，f（x）为周期函数 t=2|b-a|（2）若 f（a-x）=-f（a x） ，则 f（x）是广义（）型奇函数，当有两个相异实数 a
2、，b同时满足时，f（x）为周期函数 t=2|b-a|3.抽象函数的对称性（1）若 f（x)满足 f（a x） f（b-x）=c ，则函数关于（， ）成中心对称（充要）（2）若 f（x）满足 f（a x）=f（b-x） ，则函数关于直线 x=成轴对称（充要）4、函数( )yf x的图像按向量的图像按向量( , )ak h平移平移后，得函数()yhf xk的图像.5、形如(0,)axbycadbccxd的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线dxc (由分母为零确定)、直线ayc(由分子、分母中x的系数确定)，双曲线的中心是点(, )d ac c.【三角函数】1.三角形恒等式（1）在中，（2）
3、正切定理和余切定理：在非 rt中，有 tana tanb tanc=tanatanbtanc（3）（4）2、任意三角形射影定理（又称第一余弦定理） ：在abc 中，有：abcoscccosb；bccosaacosc；c=acosbbcosa3、 （1）任意三角形内切圆半径 r=（s 为面积） ，（2）外接圆半径（3） 欧拉不等式：r2r4、和差化积公式（只记忆第一条）sin sin=2sincossin-sin=2cossincos cos=2coscoscos-cos=-2sinsin5、积化和差公式sinsin=-coscos=sincos=cossin=6、万能公式2tan12tan2t
4、an,2tan12tan1cos,2tan12tan2sin22227、三角混合不等式：若 x（0，),sinxxtanx当 x0 时 sinxxtanx8、三角形变形公式9、在中，sinasinbcos2acos2b10、三角形三边 a.b.c 成等差数列，则11、正弦平方差公式)sin()sin(sinsin22【洛必达法则】【法则 1】若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) lim0xaf x及 lim0xag x；(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) limxafxlgx，那么 limxaf xg x= limxafxlgx。【
5、法则 2】 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) lim0xf x及 lim0xg x；(2)0a，f(x) 和 g(x)在, a与,a 上可导，且 g(x)0；(3) limxfxlgx，那么 limxf xg x= limxfxlgx。法则 3若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) limxaf x 及 limxag x ；(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) limxafxlgx，那么 limxaf xg x= limxafxlgx。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1 将上面公式中的
6、 xa，x换成 x ，x-，xa，xa洛必达法则也成立。2 洛必达法则可处理00，0，1，0，00， 型。3 在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，0，1，0，00， 型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。4 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。【双绝对值函数图像】【中值定理与函数凹凸性】中值定理名称条件结论罗尔中值定理)(xfy ： （1）在a,b上连续； （2）在)(a,b内可导； （3）)()(bfaf至少存在一点)(a,b 使得0)(/f拉格朗日中值定理)(xfy ： （1）在a
7、,b上连续； （2）在)(a,b内可导至少存在一点)b, a (使得)(/fabafbf)()(柯西中值定理)(xf、)(xg： （1）在a,b上连续，在)(a,b内可导； （2）在)(a,b内每点处0)(/xg至少存在一点)(a,b 使得abafbfgf)()()()(/1、曲线凹凸性的概念：设)(xf在区间i内连续，如果对i上任意两点21,xx，恒有2)()()2(2121xfxfxxf，则称)(xf在i上的图形是凹的；如果恒有2)()()2(2121xfxfxxf，则称)(xf在i上的图形是凸的。2、拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。3、曲线凹凸性的判别法：设)(xf在a,b上连续，在)(a,b内具有一阶和二阶导数，则（1）若在)(a,b内( )0fx，则)(xfy 在a,b上的图形是凹的；（2）若在)(a,b内( )0fx，则)(xfy 在a,b上的图形是凸的。