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1、2021 高二数学寒假作业同步练习题：数列大题专项训练专题专题 12 数列大题专项训练数列大题专项训练一、巩固基础知识一、巩固基础知识1已知数列是递增的等差数列，、成等比数列。na32a1a13aa 18aa (1)求数列的通项公式；na(2)若，数列的前项和，求满足的最小的的值。13nnnaabnbnns2536nsn【解析】(1)设的公差为()，由条件得：，nad0d31da211)2()72(ddaa0d解得，；11a2d12 nan(2)，)121121(23) 12)(12(331nnnnaabnnn，123)1211215131311 (23 nnnnsn由得，满足的最小值的的值为
2、。2536123nn12n2536nsn132已知等比数列的前项和为，且()。nanns121nnsann(1)求数列的通项公式；na(2)若数列满足，求数列的前项和。nb13nbnannabnnt【解析】(1)当时，1n1212 aa当时，即，2nnnnnnassaa22211nnaa31等比数列的公比是，即，故，na3123aa 11312aa11a故数列是首项为 ，公比为的等比数列，；na1313nna(2)由(1)知，又，故，13nna13nbna11nbnnbn13nnnnab则，12321033132333231 nnnnnnnt ，nt31nnnnnn33132333231123
3、21 两式相减得，nnnnnnnnnnnt3232233311311331313131313132123210 。1343249nnnt3已知数列满足，为的前项和，。数列为等比na122nnnaaansnan8522aaa255snb数列且，。0nb11ab 5122aab (1)求的值；2b(2)记，其前项和为，求证：。nnnabc)3log2(43nnt34nt【解析】(1)由得数列为等差数列，设公差为，则由，得：122nnnaaanad8522aaa255s，解得，2524553)(211dadda211da，12) 1(21nnan11a95a由且得；5122aab 0nb32b(2)
4、设的公比为，由(1)可知，nbq3q13nnb，)121121(2) 12() 12(4)3log2(43nnnnabcnnn，)1211 (2)1211215131311 (2 nnntn易知随着的增大而增大，。ntn34)311 (21ttn4已知数列是等比数列，其前项和是，且()。nanns123ttsnnnn(1)求数列的通项公式；na(2)设()，求数列的前项和。nnsb11log31nnnnba nnt【解析】(1)，11231ttts171292ttts12512273ttts则，则，111tsatssa6122tssa18233ttt18) 1()6(2解得，；1t21a3q1
5、32nna(2)，设，1313132nnnsnbnnn3log1311log331132nnnnnbac则，123210323) 1(23)2(2363432 nnnnnnnt，nnnnnnnt323) 1(23)2(2363432312321 -得nnnnnt323232323232212210 ，13)21 (321332)333(2110 nnnnnnnn。2123) 12(nnnt5已知等差数列的前项和为，、成等比数列。nanns93s1a3a7a(1)求数列的通项公式；na(2)若数列的公差不为，求证：(，)。na09111111321 nssssnn3n【解析】(1)是等差数列，设
6、公差为，nad9323213aaaas32a、成等比数列，1a3a7a， 2222)()5)(dadada2)3()53)(3(ddd解得或，或；0d1d1 nan3na(2)公差不为，01 nan2)3( nnsn令，)311(32)3(332)3(21nnnnnnsbnn当时，3n原式nbbbb 321)31121111121613151214111(32 nnnnnn 。911)312111(32)312111312111(32nnn二、扩展思维视野二、扩展思维视野6已知数列的前项和为，且(，)。nanns11a32ansssnnn11232nnn(1)设，求证：数列为等比数列；1nab
7、nnnb(2)求数列的前项和。2nnannt【解析】(1)由已知得，即()，nssssnnnn1122naann212n()，212221211nanananabbnnnnnn2n又，且，故数列是首项为、公比为的等比数列；212bb31111 abnb32(2)由(1)知，则，1231nnna1231nannnnnna)21() 1(232设， nnnnnna)21() 1()21()21() 1()21(4)21(3)21(212321 ，a2111432)21() 1()21()21() 1()21(4)21(3)21(2 nnnnnn两式相减得：，)23()21(23)21()21()2
8、1()21()21(1211132 nannnn解得，nna)21()3(3数列的前项和。2nnannnnnt)21()3(3237在公差不为的等差数列中，、成等比数列。0na1a4a8a(1)已知数列的前项和为，求数列的通项公式；na1045na(2)若，且数列的前项和为，若，求数列的公差。11nnnaabnbnnt9191ntnna【解析】(1)设等差数列的公差为()，由、成等比数列可得：，nad0d1a4a8a8124aaa即，即，)7()3(1121daadada91由数列的前项和为得：，即，解得，na10454545101da454590dd31d， 31a数列的通项公式为：；na3
9、831) 1(3nnan(2)，)11(1)11(1)(1111nnnnnnnnnaaddaaddaaaab数列的前项和，nbn)11(1)11()11()11(11113221 nnnnaadaaaaaadt又由(1)可知，da91即，)9191(1)9191(1)11(1)11(121111ndnddddndaadaadtnn即，即，解得或。)9191(191912ndn112d1d1d8已知等差数列的前项和为()，数列是等比数列，满足，nannsnnnb31a，。11b1022 sb3252aba(1)求数列和的通项公式；nanb(2)令，设数列的前项和，求。为偶数，为奇数，nbnscn
10、nn2ncnntnt【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为()，nadnbq0q， ，31a11b1022 sb3252abadqddq232431033，；2d2q12 nan12nnb(2)由(1)可得，)2(2) 123(nnnnsn则，即，为偶数，为奇数，nnnncnn12)2(2为偶数，为奇数，nnnncnn12211当为奇数时，n)222()2115131311 (231 nnnnt，2131241)41 (2)211 (21nnnn当为偶数时，n)222()11115131311 (131 nnnnt。1131241)41 (2)111 (12nnnn9已知等差数列和
11、等比数列，其中的公差不为，设是数列的前项和，若、nanbna0nsnan1a、是数列的前项，且。2a5anb3164s(1)求数列和的通项公式；nanb(2)若数列为等差数列，求实数 。14tasnnt【解析】(1)设的公差为，且，设的公比为，且，nad0dnbq0q、是数列的前项，则，1a2a5anb35122aaa即，化简得，)4()(1121daadada 12又，16642) 14(44114dadas化简得，解得，8321 da11a2d12) 1(1ndnaan、是数列的前项，则，11a32a95anb3111 ab312aaq，1113nnnqbb(2)由(1)可知，数列为等差数
12、列，即数列为等差数212nnaasnn14tasnn12142tnn列， 设，则，则，tnncn12142tc131tc3152tc53533122ccc(注意：正常数列是不允许代数的，但当已知数列是等差或等比的时候就可以代数了)则，化简得，解得、，ttt535133152022 tt01t22t当时，是首项为，公差为的等差数列，可取，0t1212142nnncn32当时，是首项为 ，公差为的等差数列，可取，2t1212142nnncn12综上实数 可取或。t02三、提升综合素质三、提升综合素质10设为数列的前项和，已知，且。nsnannnaa128154s(1)求的通项公式；na(2)若点在
13、函数的图像上，求证：。)(nnba ，xy2log2111113221 nnbbbbbb【解析】(1)，且，且，nnaa128154s0na211nnaa数列为等比数列，且公比，na21q，815211)21(1414 as解得，；11a1111)21()21(1nnnnqaa(2)由(1)可得，nnna112)21(点在函数的图像上，)(nnba ，xy2log2nabnnnn)2(log22log2log2122，111) 1(111nnnnbbnn，111)111()3121()2111(11113221 nnnbbbbbbnn又，原式得证。nn1111n11已知数列中，且。na51a2
14、2a125)(2nnnaaa(1)求证：数列和都是等比数列；21nnaa211nnaa(2)求数列的前项和。23nnanns【解析】(1)证明：，125)(2nnnaaa12522nnnaaannnnaaaa2)2(2112，2122112nnnnaaaa8522212 aa是以为首项，为公比的等比数列，21nnaa821，11)21(82nnnaa，125)(2nnnaaa)21(221112nnnnaaaa，22121112nnnnaaaa2152122112aa是以为首项，为公比的等比数列，211nnaa212；1122121nnnaa(2)由(1)知；11)21(82nnnaa1122
15、121nnnaa由解得，验证，适合上式，)22(3224nnna51a22a，)22(32)22(3222522433nnnnnna)22(32)22(32)22(32)22(325213 nns。3613643441)41 (81232)2222(2325213 nnnnnn12已知各项均为正数的数列的前项和为，且。nannsnnsa21(1)求数列的通项公式；nana(2)设数列的前项和为，求。) 1(1nnnaannnt2020t【解析】(1)，即，nnsa21nnsa4) 1(24122nnnaas当时，即，解得，1n4121211aaa0) 1(21a11a当时，2n422412412121212121nnnnnnnnnnnaaaaaaaassa化简得，)()(2112121nnnnnnnnaaaaaaaa又数列各项均为正数，na01nnaa21nnaa数列是首项为 、公差为的等差数列，na12；122) 1(1nnan(2)设，1) 1(nnnnaanb由(1)得，)121121() 1(41) 12() 12() 1(nnnnnbnnn则2020212020bbbt )4041140391() 1(41)5131() 1(41)3111() 1(41202021 。)404114039151313111(41 ) 140411(4140411010