《适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第三节函数的奇偶性与周期性课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第三节函数的奇偶性与周期性课件（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节函数的奇偶性与周期性第三节函数的奇偶性与周期性第三章第三章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义,会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.2.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.3.能够综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性解决相关问题.强强基础基础 增增分策略分策略知识梳理1.奇偶性 奇偶性定义图象特征偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为d,如果xd,都有-xd,且 ,那么函数f(x)就叫做偶函数偶函数的定义域关于原点对称的原因关于对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为d
2、,如果xd,都有-xd,且 ,那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的定义域关于原点对称的原因关于对称f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点微点拨1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的条件,因此在判断函数奇偶性时,必须首先考察函数定义域是否关于原点对称.2.当f(x)0时,可以利用奇偶函数定义的以下等价形式判断奇偶性:(1)f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0=1f(x)为偶函数;(2)f(-x)=-f(x)f(-x) f(x)=0=-1f(x)为奇函数.3.对于分段函数,要分别从x0和x0时,f(x)=x2-3x,而-x0,所以f(-x)=-(-x)2-3(-x)=-
3、x2 3x=-f(x);当x0,所以f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2 3x=-f(x).因此对任意x(-,0)(0, ),都有f(-x)=-f(x),故函数是奇函数.方法总结判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法:(2)图象法:(3)性质法:在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.对点训练1(2023广西玉林三模)已知f(x)=x3g(x)为定义在r上的偶函数,则g(x)的解析式可以为()答案a解析由f(x)=x3g(x)为定义在r上的偶函数,得f(-x)=-x3g(-x)=x3g(x)=f(x),g(-x)=-g(x),g(x)是奇函数.在四个选项中,只有a
4、选项g(x)=()x-3x是奇函数.故选a.考向2.函数奇偶性的应用典例突破例2.(1)若f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=a 2cosx,则(2)(2023全国甲,理13)若f(x)=(x-1)2 ax sin为偶函数,则a=.答案(1)c(2)2(3)-2ln2 解析 (1)因为f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=a 2cosx,所以f(0)=a 2cos0=0,解得a=-2,因此当x0时,f(x)=2cosx-2,(2)由题意整理得f(x)=x2 (a-2)x cosx 1,f(-x)=(-x)2 (a-2)(-x) cos(-x) 1=x2 (2-a)x cosx 1,函数f(x
5、)是偶函数,f(x)=f(-x),即x2 (a-2)x cosx 1=x2 (2-a)x cosx 1,解得a=2.归纳总结利用函数的奇偶性可以解决的问题(1)求解析式中的参数值:利用待定系数法根据f(-x)=f(x)得到关于参数的恒等式,由系数的对等性建立方程(组),进而求得参数值,也可以利用取特殊值法求解.(2)求解析式:在欲求解析式的区间上任取x,则-x必在解析式已知的区间内,代入求得f(-x),再根据奇偶性即得f(x).(3)求函数值:将欲求函数值利用奇偶性转化为求函数在已知解析式的区间上的函数值问题.(4)求特殊值:根据具有最大值与最小值的奇函数在对称区间上的最大值与最小值之和等于零
6、求一些特殊结构的函数值.对点训练2(1)(多选)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足:f(x) g(x)=ex(其中e为自然对数的底数),则下列结论正确的是()a.g(0)=1b.f(1)f(h(x)的形式.如果函数是奇函数,当函数值前面有“-”时,可通过函数是奇函数将“-”移到括号内;如果函数是偶函数,可根据f(-x)=f(x)=f(|x|)将函数值都化为自变量为正值的形式.(2)根据单调性,得到具体的不等式,即可解不等式或比较大小.(3)注意根据已知函数的单调性与奇偶性画出函数的大致图象,借助图象分析解决问题.答案c考向2.函数奇偶性与周期性的综合典例突破例6.设函数f(x)的定义域为r
7、,f(x 1)为奇函数,f(x 2)为偶函数,答案d解析f(x 1)是奇函数,f(-x 1)=-f(x 1).f(x 2)=f(x 1 1)=-f(-x).f(2-x)=f(1-x 1)=-f(x).f(x 2)是偶函数,f(x 2)=f(2-x),-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.f(x 4)=f(x 2) 2=f-(x 2) 2=f(-x)=f(x),函数f(x)的周期为4,f(3)=f(1)=0.f(0)=f(-1 1)=-f(1 1)=-f(2),f(0)=-f(2).当x1,2时,f(x)=ax2 b,由f(1)=0得a b=0.f(0) f(3)=
8、6,f(0)=6,f(2)=-6.即4a b=-6,a=-2,b=2,突破技巧综合应用奇偶性与周期性解题的技巧综合应用奇偶性与周期性主要是解决求值问题,一般策略如下:(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期;(2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值,直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系,必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化;(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函数值.对点训练6(2023山东泰安一模)设f(x)是定义域为r的偶函数,且f(x)=f(2-x).解析由题意得f(x)=f(-x),又f(x)=f(2-x),所以f(x)
9、=f(-x)=f(2 x),所以f(x)是周期考向3.函数奇偶性、单调性与周期性的综合典例突破例7.(多选)定义在r上的奇函数f(x)满足f(x 2)=f(2-x),且在0,2上单调递增,下列判断正确的是()a.f(x)的周期是4b.f(2)是函数的一个最大值c.f(x)的图象关于点(-2,0)对称d.f(x)在2,6上单调递减答案bd解析 因为f(x)是奇函数,且f(2 x)=f(2-x),所以函数最小正周期为8,故a项错误;又因为f(x)关于直线x=2对称,而且在区间0,2上单调递增,所以f(x)在区间2,4上单调递减,又f(x)是奇函数,所以f(x)在区间-4,-2上单调递减,在区间-2
10、,0上单调递增,所以f(2)是函数的一个最大值,f(x)图象关于直线x=-2对称,在区间2,6上单调递减,故b正确,c错误,d正确.突破技巧综合应用奇偶性、单调性、周期性的解题技巧(1)根据奇偶性推得周期性;(2)利用周期性转化自变量所在的区间;(3)利用单调性解决相关问题.对点训练7(2023江西九江三模)已知定义在r上的函数f(x)在0,1上单调递增,f(x 1)是奇函数,f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)()a.在2020,2022上单调递减b.在2021,2023上单调递增c.在2022,2024上单调递减d.在2023,2025上单调递增答案c 解析f(x 1)是奇函数,f(x 1)=-f(-x 1),即f(x)的图象关于点(1,0)对称,f(2-x)=-f(x).又f(x)在0,1上单调递增,f(x)在1,2上单调递增,即f(x)在0,2上单调递增.由f(x-1)的图象关于直线x=1对称可知f(x)为偶函数,f(x)在-2,0上单调递减,f(2-x)=f(x-2)=-f(x),f(x-4)=-f(x-2)=f(x),f(x)是周期为4的函数,f(x)在2,4上单调递减,2022=4505 2,2024=4505 4,f(x)在2022,2024上的单调性和在2,4上的单调性相同,f(x)在2022,2024上单调递减.故选c.