《贵州省2020届高三数学4月模拟考试试题理【含解析】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《贵州省2020届高三数学4月模拟考试试题理【含解析】（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、贵州省贵州省 20202020 届高三数学届高三数学 4 4 月模拟考试试题月模拟考试试题 理（含解析）理（含解析）一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题）小题）1. 已知集合，则（ 0,1,2,3,4u 2|20axz xx1,2,3b uab ）a. b. c. d. 30,1,21,2,31,2,3,4【答案】d【解析】【分析】先化简集合，再求解.auab【详解】因为，所以，2|200,1,2axz xx3,4ua 因为，所以.1,2,3b 1,2,3,4uab 故选：d.【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2. 函
2、数的最小正周期是（ ）22( )cossinf xxxa. b. c. d. 224【答案】b【解析】【分析】由二倍角的余弦公式可得，根据最小正周期的计算公式可求该函数的最小正( )cos2f xx周期.【详解】由二倍角的余弦公式可得，故最小正周期为，( )cos2f xx22故选：b.【点睛】本题考查二倍角的余弦以及余弦型函数的最小正周期，本题为基础题.3. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的( )m n / /mna. 充分不必要条件b. 必要不充分条作c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】a【解析】【分析】根据充分必要条件定义判断即可.【详解】直线平面，直线平面，m n 若
3、可得，；/ /mmn若，则不一定垂直，与不一定平行；mnm“”是“”的充分不必要条件./ /mn故选：a.【点睛】本题利用立体几何的基础知识考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题.4. 据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被cossin ()ixexix xr誉为“数学中的天桥”.特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将x10ie 数学中五个重要的数（自然对数的底 ，圆周率，虚数单位 ，自然数的单位 1 和零元 0）ei联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ）i4ezzz a. b. c. d. 2222i2222i
4、2222i2222i【答案】d【解析】【分析】先根据题意求出复数的代数形式，再求它的共轭复数.i4ez【详解】由题意，所以.i422ecosisini4422z22i22z 故选：d.【点睛】本题主要考查共轭复数，化简复数为形式，其共轭复数为，侧重考查abiabi数学运算的核心素养.5. 的展开式中的系数为（ ）52xx3xa. 10b. c. 5d. 105【答案】b【解析】【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求的系数.3x【详解】的展开式的通项公式为，52xx55 215522rrrrrrrtc xc xx 令可得，所以的系数为.523r1r 3x15210c 故选：b.【点睛】本题主
5、要考查二项式定理，利用二项式定理求解特定项的系数一般是利用通项公式求解，侧重考查数学运算的核心素养.6. 若，则实数之间的大小关系为（ ）3232,log3,log2abc, ,a b ca. b. c. d. acbabccabbac【答案】a【解析】【分析】利用中间 1 和 2 进行比较可得答案.【详解】因为，;3122222log3log 21333log3log2log32所以.acb故选：a.【点睛】本题主要考查比较指数式和对数式的大小，一般是利用函数的单调性结合中间值进行比较，侧重考查数学抽象的核心素养.7. 某保险公司为客户定制了 5 个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理
6、财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对 5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例，以下四个选项错误的是（ ） a. 54 周岁以上参保人数最少b. 1829 周岁人群参保总费用最少c. 丁险种更受参保人青睐d. 30 周岁以上的人群约占参保人群的80%【答案】b【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保人数比例图可知，54 周岁以上参保人数最少，30 周岁以上的人群约占参保人群的 80%，所以选项 a,选项 d 均正确；由参保险种比例图可知，丁险种更受参保人青睐，所以选项 c 正确；由不同年龄段人均参保费用图可知，
7、1829 周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为 20%，所以总费用不一定最少.故选：d.【点睛】本题主要考查统计图表的识别，根据统计图得出正确的统计结论是求解的前提，侧重考查数据分析的核心素养.8. 函数的部分图象大致是（ ）( )22sin cosxxf xxxa. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用函数的奇偶性可以排除部分选项，再利用特殊值进行排除，可得正确结果.【详解】因为，所以是偶函数，排除选项()22sincos( )xxfxxxf x( )f xa；当，排除选项 d；(0,),( )02xf x当，排除选项 c；( ,),( )02xf x 故选：b.【点睛
8、】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的性质及特殊值，采用排除法是这类问题的常用方法，侧重考查直观想象的核心素养.9. 已知抛物线，倾斜角为的直线交于两点.若线段中点2:2(0)c ypx p6c,a bab的纵坐标为，则的值为（ ）2 3pa. b. 1c. 2d. 412【答案】c【解析】【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和中点公式可求的值.p【详解】设直线方程为，联立得，33yxm2233ypxyxm2306yymp设，则，1122,a x yb xy122 3yyp因为线段中点的纵坐标为，所以，所以.ab2 3124 3yy2p 故选：c.【点睛】本题主要考查直线和抛物
9、线的位置关系，利用弦中点求解参数时，一般利用待定系数法，结合韦达定理及中点公式可得结果，侧重考查数学运算的核心素养.10. 已知一块形状为正三棱柱（底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱）111abcabc的实心木材，.若将该木材经过切割加工成一个球体，则此球体积的最大值12 3abaa为（ ）a. b. c. d. 4 38 2343323【答案】c【解析】【分析】利用棱柱的三个侧面都相切的球的特点求出球的半径，进而可得体积的最大值.【详解】由题意最大球应该是和正三棱柱三个侧面都相切的球，即球的大圆和正三棱柱的横截面相切，横截面是边长为的正三角形，所以内切圆半径为，所以球体积2 31313r
10、 的最大值为.43故选：c.【点睛】本题主要考查球的切接问题，求解的关键是找到蕴含的等量关系式，侧重考查数学运算的核心素养.11. 已知函数，是的导函数.在区间是增函数；1( ) |3f xxx( )fx( )f x( )f x(0,)当时，函数的最大值为；有 2 个零点；(,0)x ( )f x1( )( )yf xfx.则上述判断正确的序号是（ ）( )()2fxfxa. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】结合函数解析式及导数的解析式，逐项验证可得答案.【详解】当时，所以在区间是增0x 1( )3f xxx21( )10xfx ( )f x(0,)函数，即正确；当时，当且仅当时取
11、到最小值，所0x 11( )3()31f xxxxx 1x 以不正确；当时，0x 3224)1( )xxxf xfxx令，则，由于，所以321( )4gxxxx2( )381xg xx0,(0)10g 在上先减后增，且，所以在内只有一个零点；( )g x(0,)(0)10g ( )g x(0,)当时，0x 3222)1( )xxxf xfxx令，则，由于，所以321( )2hxxxx2( )341xh xx0,(0)10h 在上先增后减，且，所以在内只有一个零点；( )h x(,0)(0)10h ( )h x(,0)综上可知，有 2 个零点，所以正确；( )( )yf xfx当时，所以不正确；
12、0x 21( )1fxx ( )()0fxfx故选：a.【点睛】本题主要考查函数的性质，利用导数研究函数的性质是常用方法，侧重考查数学抽象的核心素养.12. 设双曲线的右焦点为的一条渐近线为 ，以为圆心的圆2222:1(0,0)xycabab,f clf与 相交于两点，为坐标原点，则双曲线l,m nmfnfo(25)omon 的离心率的取值范围是（ ）ca. b. c. d. 5, 22513,231013,331034,35【答案】c【解析】【分析】先根据题意可得圆的半径及弦长，结合直角三角形的性质建立等量关系，根据的范mn围可得离心率的取值范围.【详解】不妨设渐近线 为，则点到渐近线的距离
13、为；lbyxa(c,0)ff22bcdbab取的中点，如图，由题意可知，是等腰直角三角形， 所以，且mnamfnfamn，即；12famn2mnb设，由得，即，；onx(25)omon omx2xxb21bx在直角三角形中，所以，oaf222oaafof222()xbbc整理可得，即有，xba12111ba 因为，所以，2,51 2 , 3 3ba所以双曲线的离心率.210131 ( ),33cbeaa故选：c.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，向量条件的转化是求解的关键，离心率问题主要是构建关于的关系式，侧重考查数学运算的核心素养., ,a b c二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4
14、4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分13. 已知点满足约束条件则原点到点的距离的最小值为_.( , )p x y4,0,4,xyxyxop【答案】2 2【解析】【分析】作出可行域，结合图形可得原点到点的距离的最小值.op【详解】作出可行域，如图，由图可知点到原点的距离最小，a联立和，得，所以原点到点的距离的最小值为.4xy0xy(2,2)aop2 2故答案为：.2 2【点睛】本题主要考查利用线性规划知识求解距离型最值问题，作出可行域，观察图形，找到最值点是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.14. 如图所示，若输入，则输出_.1010a 8k =4n b 【答
15、案】520【解析】【分析】结合程序框图，逐次进行运算，直到退出循环，输出.b【详解】第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：；0,2bi8,3bi8,4bi第四次运算：；此时退出循环，输出的值 520.520,5biinb故答案为：520.【点睛】本题主要考查程序框图的理解，利用程序框图求解输出值，一般是采用“还原现场”的方法，侧重考查数学运算的核心素养.15. 的内角的对边分别为.若，abc, ,a b c, ,a b c3( coscos )cossinbccbaaa，则的面积为_.8bc4a abc【答案】4 3【解析】【分析】先利用正弦定理化边为角可得，结合余弦定理可得，然后利用面积公
16、式可求3a16bc 的面积.abc【详解】因为，3( coscos )cossinbccbaaa所以，即，;3(sincossincos)cossinsinbccbaaa3cossinaa3a由余弦定理得，22222cos22cosabcbcabcbcbca因为，所以，8bc4a 16bc 所以的面积为.abc113sin164 3222bca 故答案为：.4 3【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，边角的转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16. 如图是由六个边长为 1 的正六边形组成的蜂巢图形，定点是如图所示的两个顶点，,a b动点在这些正六边形的边上运动，则的最
17、大值为_.pap ab 【答案】452【解析】【分析】建立直角坐标系，把向量数量积转化为坐标运算，结合函数单调性可求最值.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如图，则，a(0,0)a(2 3,3)b；3 3 9( 3,5),(, )22mn由图可知点在线段上运动时，最有可能取到最大值，pmnap ab 线段：，mn33 3(3)5, 3,32yxx 设，则，( , )p x y(2 3,3),( , )abapx y 2 33318ab apxyx 因为，且为增函数，所以.3 3 3,2x318yx3 34531822ab ap 故答案为：.452【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，平
18、面向量问题优先利用坐标运算进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. .（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分17. 2019 年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者.为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是
19、否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史） ，无武汉旅行史（无接触史） ，有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据.（1）请将列联表填写完整：有接触史无接触史总计有武汉旅行史27无武汉旅行史18总计2754（2）能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？附：22(),()()()()n adbcknabcdab cd ac bd 2p kk0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635【答案】 （1）列联表见解析；（2）能【
20、解析】【分析】（1）根据表格可得有武汉旅行史且有接触史的有 9 人，有武汉旅行史且无接触史的有 18 人，可以完成表格；（2）根据列联表计算卡方，根据参考数据可以得出结论.【详解】 （1）请将该列联表填写完整：有接触史无接触史总计有武汉旅行史91827无武汉旅行史18927总计272754（2）根据列联表中的数据，由于2254(9918 18)27272727k22454(918) (918)27224549272722927.65.024因此，在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系.【点睛】本题主要考查独立性检验，题目较为简单，独立性检验根据公式
21、计算卡方是求解的关键，侧重考查数据处理的核心素养.18. 已知为等差数列，各项为正的等比数列的前项和为， na nbnns1122ab，_.在；这三个条2810aa1nnsb43212asss2nanb件中任选其中一个，补充在横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则以选择第一个解答记分）.（1）求数列和的通项公式； na nb（2）求数列的前项和.nnabnnt【答案】 （1）选：，；选：，；选nan2nnb nan2nnb ：，；（2）选：；选：；nan2nnb 1(1) 22nntn1(1) 22nntn选：1(1) 22nntn【解析】【分析】（1）根据所选条件，建立方程组
22、，求解基本量，进而可得通项公式；（2）根据通项公式的特点，选择错位相减法进行求和.【详解】选解：（1）设等差数列的公差为， nad，12822,10aaa12810ad11a 1d ，1 (1) 1nann 由，12,1nnbsb当时，有，则有，即1n 1111sbb22112当时，2n112121nnnnnbssbb即，所以是一个以 2 为首项，2 为公比的等比数列.12nnbb nb.12 22nnnb（2）由（1）知，2nnnabn，1231 2223 22nntn ，23121 222(1)22nnntnn -得：，23112 1 22222221 2nnnnntnn .1(1) 22
23、nntn选解：（1）设等差数列的公差为， nad，12822,10aaa12810ad11,1ad，1 (1) 1nann ，44a 设等比数列的公比为， nb(0)q q ，43212asss， 2432213211assssbbbqbq又，解得，或（舍） ，414,2ab220qq2q =1q .12 22nnnb（2）由（1）可知，2nnnabn，1231 2223 22nntn ，23121 222(1)22nnntnn -得：，23112 1 22222221 2nnnnntnn .1(1) 22nntn选解：（1）设等差数列的公差为， nad，12822,10aaa12810ad1
24、1a 1d ，1 (1) 1nann ，2nanb111,2ab令，得，即，1n 112ab2212nanb ；2nnb （2）解法同选的第（2）问解法相同.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和错位相减法求和，熟记等差数列和等比数列的通项公式是求解的关键，错位相减法求和时，注意检验结果，防止计算错误，侧重考查数学运算的核心素养.19. 图 1 是直角梯形，abcd/ab dc90d2ab 3dc 3ad .以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图 2.2ceed bebcec1c16ac （1）证明：平面平面；1bc e abed（2）求直线与平面所成角的正弦值.1bc1ac d【答案】
25、（1）证明见解析；（2）2 77【解析】【分析】（1）做辅助线，先根据线线垂直证明面，进而可证平面平面1c f abed1bc e ；abed（2）建立平面直角坐标系，求出平面的法向量，利用法向量法可求直线与平面1ac d1bc所成角的正弦值.1ac d【详解】 （1）证明：在图 1 中，连结，由已知得ae2ae 且，cebacebaae四边形为菱形，abce连结交于点，acbef，cfbe又在中，rtacd22332 3ac ，3afcf在图 2 中，16ac ，22211afc fac1c faf由题意知，1c faf面，又平面，1c f abed1c f 1bc e平面平面；1bc e
26、abed（2）如图，以为坐标原点，分别为轴，方向为轴正方向建立空间ddadc, x y1fc z直角坐标系.由已知得各点坐标为，13 33 3(0,0,0), ( 3,0,0), ( 3,2,0),(0,1,0),0 , 32222dabefc所以，131, 322bc ( 3,0,0)da 13 3, 322dc 设平面的法向量为，则，1ac d( , , )nx y z1,dan dcn 所以，即，令，解得，100da ndc n 3000333022xyzxyz3z 0,2xy 所以，(0, 2, 3)n 所以，|7n 记直线与平面所成角为，1bc1ac d则.110 1 32 7sin
27、727|bcnbcn 【点睛】本题主要考查平面与平面垂直及线面角的求解，面面垂直一般转化为线面垂直来证明，线面角主要是利用法向量进行求解，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.20. 设、分别是椭圆的左、右焦点，、两点分别是椭1f2f2222:10xycababab圆的上、下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的c12aff1afcd2adf周长为.4 2（1）求椭圆的方程；c（2）设点是椭圆上异于、的动点，直线、与直线分别相交于pcabapbp:2l y 、两点，点，试问：外接圆是否恒过轴上的定点（异于点）？mn0, 5qmnqyq若是，求该定点坐标；若否，说明理由.【答案】 （1）；
28、（2）是，且定点坐标为.2212xy0,0【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义可求得的值，再由是等腰直角三角形可求得、的值，由a12affbc此可得出椭圆的方程；c（2）设点，求出直线、的斜率之积为，设直线的方程为000,0p xyx apbp12ap，可得出直线的方程，进而可求得点、的方程，假设的外接圆1ykxbpmnmnq过轴上的定点，求出的外接圆圆心的坐标，由结y0,5ttt mnqeeqen合两点间的距离公式可求得 的值，进而可求得定点的坐标.t【详解】 （1）因为的周长为，由定义可得，2adf4 2122afafa，122dfdfa所以，所以，44 2a 2a 又因为是等腰直角三角形
29、，且，所以，12aff222abc1bc所以椭圆的方程为：；c2212xy（2）设，则，00,p xy00x 220012xy所以直线与的斜率之积，apbp202000220000111122xyyyxxxx 设直线的斜率为，则直线的方程为：，apkap1ykx直线的方程：，bp112yxk 由，可得，同理，12ykxy 3, 2mk2 , 2nk 假设的外接圆恒过定点，mnq0,tt5t 由于线段的垂直平分线所在直线的方程为，mn32xkk线段的垂直平分线所在直线的方程为，则其圆心，qt52ty35,22te kk又，所以，解得，eqen222235312222ttkkkk0t 所以的外接圆
30、恒过定点.mnq0,0【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了圆过定点问题的求解，考查计算能力，属于中等题.21. 已知函数.21( )(1)f xx （1）若直线与曲线相切，求的值；2yxm ( )yf xm（2）对任意，成立，讨论实数的取值.( 1,1)x ln(1)( )1 0axf x a【答案】 （1）；（2）1m 2a 【解析】【分析】（1）设出切点，利用导数建立方程组，求解方程组可得的值；m（2）构造新函数，利用导数求解最值，讨论可得实数3( )(1)2(1),( 1,1)h xa xxx 的取值.a【详解】 （1）设直线与曲线相切于点，2yxm ( )yf x00,xy因为
31、，32( )(1)fxx则有解得，所以；3002022,112,1xxmx 001xm 1m （2）令，21( )ln(1)( )1ln(1)1,( 1,1)(1)g xaxf xaxxx 则，且，33(1)2(1)( )(1)(1)a xxg xxx(0)0g因为，所以，( 1,1)x (1)0x 3(1)0x 3(1)(1)0xx令，3( )(1)2(1),( 1,1)h xa xxx （）当时，因为，所以，即，在单调0a ( 1,1)x ( )0h x ( )0g x( )g x( 1,1)x 递增，当时，不满足题意；( 1,0)x ( )0g x（）当时，且，又，所以0a ( 1)80
32、ha (1)4h 2( )3 (1)20h xa x在单调递减，存在，使，当时，( )h x( 1,1)x 1( 1,1)x 10h x11,xx ，即，当时，即，所以在( )0h x ( )0g x1,1xx( )0h x ( )0g x( )g x单调递减，在单调递增；在有唯一的最小值点，因为11,x1,1x( )g x( 1,1)x 1x，要使恒成立，当且仅当，又，(0)0g( ) 0g x 10x 10gx所以，即.(0)20ha 2a 综上所述，.2a 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义求解切线问题时，常常设出切点，结合切点处的导数值等于切线的斜率建立等式，恒成立问题
33、一般转化为最值问题，利用导数求解最值即可，侧重考查数学抽象的核心素养.（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .如果多做，则按所做的第题如果多做，则按所做的第题计分计分. .选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22. 如图，在以为极点，轴为极轴的极坐标系中，圆，的方程分别为oox1c2c3c，.4sin24sin324sin3（1）若相交于异于极点的点，求点的极坐标；12,c cmm(0,02 )（2）若直线与分别相交于异于极点的两点，求的最大值.:()lr 13,c c,a b|
34、ab【答案】 （1）；（2）2,64 3【解析】【分析】（1）联立方程组可解点的极坐标；4sin ,24sin,3m（2）表示出的表达式，利用三角函数的知识可求最大值.|ab【详解】 （1）由，4sin ,24sin,3(0,02 )，2sinsin36，点的极坐标为；2m2,6（2）设,abab2|4sin4sin3abab，4 3 sin4 36的最大值为.|ab4 3【点睛】本题主要考查极坐标，极坐标的应用，题目较为简单，明确极坐标的意义是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.选修选修 4545：不等式选讲：不等式选讲23. 已知函数的最小值为 6，.( ) |f xxabxc, ,a
35、 b cr（1）求的值；abc（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.149|23|123mabcm【答案】 （1）6；（2）0,3【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式的性质及题目所给最小值可求结果；（2）利用柯西不等式可求，进而得到实数的取值范围.1493123abcm【详解】 （1），( ) |()()| |f xxabxcxabxcabcabc当且仅当等号成立abxc；6abc（2）由柯西不等式得，2149(1)(2)(3) (123)36123abcabc，1493123abc当且仅当时等号成立，1,2,3abc，即，解得.|23|3m3 23 3m03m故的取值范围是.m0,3【点睛】本题主要考查绝对值不等式的性质及柯西不等式应用，熟悉柯西不等式的结构是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.